ما هي حاسبة قوس جيب التمام (معكوس جيب التمام)؟
قوس جيب التمام، ويُكتب \(\arccos(x)\) أو \(\cos^{-1}(x)\)، يجيب عن سؤال بسيط: «ما هي الزاوية التي يساوي جيب تمامها القيمة \(x\)؟» وبما أن دالة جيب التمام لا تُخرج إلا قيماً تتراوح بين -1 و1، فلا بد أن تقع القيمة المُدخَلة \(x\) ضمن هذا النطاق. تُعطيك هذه الحاسبة الزاوية الأساسية \(\theta\) بالراديان والدرجات معاً، حيث تنحصر \(\theta\) في المجال [0، π] راديان (أي ما يعادل 0° إلى 180°).
طريقة الاستخدام
أدخل عدداً بين -1 و1 في خانة الإدخال، فتحسب الأداة على الفور القيمة \(\theta = \arccos(x)\). تظهر النتيجة أولاً بالدرجات داخل المربع المميَّز، مع عرض القيمة الدقيقة بالراديان أسفله. أما القيم الخارجة عن المجال [-1، 1] فيتم تقريبها إلى أقرب طرف صالح، لأن جيب التمام لا يمكن أن يتجاوز هذين الحدّين.
شرح المعادلة
العلاقة الأساسية هي $$\theta = \arccos\left(x\right) \quad\Rightarrow\quad \theta_{\deg} = \arccos\left(x\right) \times \frac{180}{\pi}$$ وهي معكوس العلاقة \(x = \cos(\theta)\). ولتحويل الناتج من الراديان إلى الدرجات، اضرب القيمة في \(\frac{180}{\pi}\). فمثلاً، \(\arccos(0) = \frac{\pi}{2}\) راديان = 90°، لأن \(\cos(90°) = 0\).
مثال محلول
لنفترض أن \(x = 0.5\). عندئذٍ \(\theta = \arccos(0.5) = 1.047198\) راديان. وبالتحويل: $$1.047198 \times \frac{180}{\pi} \approx 60°$$ وهذا صحيح لأن \(\cos(60°) = 0.5\).
قيم arccos الشائعة
دالة جيب التمام العكسي \(\theta = \arccos(x)\) تقبل المدخلات فقط في النطاق \(-1 \le x \le 1\) وتُرجع زاوية رئيسية في \([0, \pi]\) راديان، وهو ما يعادل \([0^\circ, 180^\circ]\). الجدول أدناه يسرد قيم المرجع القياسية المستخدمة في علم المثلثات، مع عرض الزاوية كجزء دقيق من \(\pi\) وبالدرجات.
| x | قيمة x العشرية | arccos(x) (راديان) | arccos(x) (درجات) |
|---|---|---|---|
| 1 | 1.000 | \(0\) | 0° |
| \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\) | 0.866 | \(\tfrac{\pi}{6}\) | 30° |
| \(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\) | 0.707 | \(\tfrac{\pi}{4}\) | 45° |
| \(\tfrac{1}{2}\) | 0.500 | \(\tfrac{\pi}{3}\) | 60° |
| 0 | 0.000 | \(\tfrac{\pi}{2}\) | 90° |
| \(-\tfrac{1}{2}\) | -0.500 | \(\tfrac{2\pi}{3}\) | 120° |
| \(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\) | -0.707 | \(\tfrac{3\pi}{4}\) | 135° |
| \(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\) | -0.866 | \(\tfrac{5\pi}{6}\) | 150° |
| -1 | -1.000 | \(\pi\) | 180° |
لاحظ التماثل: \(\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)\). على سبيل المثال، \(\arccos(-\tfrac{1}{2}) = \pi - \tfrac{\pi}{3} = \tfrac{2\pi}{3}\)، مما يؤكد تزاوج 60° و120° في الجدول.
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن تكون قيمة \(x\) بين -1 و1؟ لأن دالة جيب التمام لا تُنتج أبداً قيماً خارج هذا النطاق، ومن ثَمّ فإن معكوسها معرَّف فقط ضمن هذا المجال.
ضمن أي مجال تقع النتيجة؟ القيمة الأساسية لقوس جيب التمام تنحصر دائماً بين 0 و π راديان (أي بين 0° و180°).
كم تساوي \(\arccos(1)\) و\(\arccos(-1)\)؟ \(\arccos(1) = 0°\) (لأن \(\cos 0° = 1\))، و \(\arccos(-1) = 180°\) (لأن \(\cos 180° = -1\)).
