ما هو التبديل (nPr)؟
التبديل هو عدد الطرق الممكنة لترتيب r من العناصر المختارة من مجموعة تضم n عنصرًا مختلفًا، بشرط أن يكون الترتيب مهمًّا. فمثلًا، اختيار الفائز الأول والثاني والثالث من بين مجموعة من المتسابقين هو مسألة تبديل؛ إذ إن تبديل مركزَي متسابقَيْن يعطي نتيجة مختلفة تمامًا. تحسب هذه الأداة قيمة nPr (وتُكتب أيضًا \(P(n, r)\)) فورًا لأي قيم صحيحة تدخلها.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل العدد الإجمالي للعناصر المتاحة n، ثم العدد الذي تريد ترتيبه r، واضغط على زر الحساب لتظهر لك عدد الترتيبات المرتّبة المختلفة. يجب أن تكون قيمة r أصغر من قيمة n أو مساوية لها؛ فإذا كانت r أكبر من n تكون النتيجة 0، لأنك لا تستطيع ترتيب عناصر أكثر مما تملك.
شرح القانون
قانون التباديل هو:
$$P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}$$
هنا تمثّل \(n!\) (مضروب n أو عاملي n) حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة حتى n. وقسمة \(n!\) على \((n - r)!\) تلغي ترتيبات العناصر التي لم تخترها، فلا يتبقى سوى التباديل المرتّبة للعناصر العدد r. وعمليًّا يُختصر هذا إلى حاصل ضرب r من العوامل المتناقصة: \(n \times (n-1) \times \ldots \times (n-r+1)\).
مثال محلول
لنفترض أن لديك 10 كتب وتريد معرفة عدد الطرق لوضع 3 منها على رفّ بترتيب معيّن. عندئذٍ:
$$P(10, 3) = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = \mathbf{720}.$$
إذن هناك 720 ترتيبًا مرتّبًا مختلفًا.
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين التبديل والتوافيق؟ في التباديل يكون الترتيب مهمًّا، أما في التوافيق فلا يهمّ الترتيب. والتوافيق \(C(n, r)\) تساوي \(P(n, r)\) مقسومة على \(r!\).
كم تساوي \(P(n, 0)\)؟ تساوي 1، فهناك طريقة واحدة فقط لاختيار وترتيب لا شيء (الترتيب الفارغ).
هل يمكن أن تكون r أكبر من n؟ لا. إذا تجاوزت r قيمة n تكون النتيجة 0، لأنك لا تستطيع ترتيب عناصر أكثر من المتاح لديك.
