ما المقصود بمساحة سطح نصف الكرة؟
نصف الكرة هو ببساطة نصف الكرة الكاملة تمامًا. ويتميّز نصف الكرة المصمت بسطحين مختلفين: القبّة المنحنية الخارجية، والقاعدة الدائرية المسطّحة الناتجة عن قطع الكرة إلى نصفين. تحسب هذه الأداة المساحة الكلية لسطح نصف الكرة المصمت اعتمادًا على نصف القطر وحده.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل نصف القطر نق لنصف الكرة بأي وحدة طول تشاء (سنتيمتر، متر، بوصة، وغيرها)، فتمنحك الحاسبة فورًا المساحة الكلية للسطح إلى جانب مساحتي السطح المنحني والقاعدة كلٍّ على حدة. وتظهر النتيجة بوحدات مربّعة مطابقة لِما أدخلته؛ فإذا أدخلت القيمة بالسنتيمتر، جاءت المساحة بالسنتيمتر المربّع.
شرح القانون
الجزء المنحني من نصف الكرة يساوي نصف مساحة سطح الكرة الكاملة. وبما أن مساحة سطح الكرة الكاملة هي \(4\pi\,\text{نق}^{2}\)، فإن الجزء المنحني (القبّة) يساوي \(2\pi\,\text{نق}^{2}\). أما القاعدة المسطّحة فهي مجرّد دائرة نصف قطرها نق ومساحتها \(\pi\,\text{نق}^{2}\). وبجمع المساحتين معًا نحصل على المساحة الكلية لسطح نصف الكرة المصمت:
$$\text{المساحة الكلية} = 2\pi\,\text{نق}^{2} + \pi\,\text{نق}^{2} = 3\pi\,\text{نق}^{2}$$ملاحظة: إذا كنت تريد القبّة المنحنية وحدها (نصف كرة مفتوح أو مجوّف بلا قاعدة)، فاستخدم \(2\pi\,\text{نق}^{2}\) بدلًا من ذلك.
مثال محلول
لنفترض أن نصف كرة مصمتًا نصف قطره ٥ وحدات. تكون مساحة السطح المنحني \(2\pi(5^{2}) = 2\pi\cdot 25 = 50\pi \approx 157.08\). ومساحة القاعدة \(\pi(5^{2}) = 25\pi \approx 78.54\). وبذلك تساوي المساحة الكلية للسطح \(3\pi(25) = 75\pi \approx\) ٢٣٥٫٦٢ وحدة مربّعة.
الأسئلة الشائعة
هل تشمل النتيجة القاعدة المسطّحة؟ نعم. تعتمد المساحة الكلية على القانون \(3\pi\,\text{نق}^{2}\) الذي يضمّ كلًّا من القبّة المنحنية (\(2\pi\,\text{نق}^{2}\)) والقاعدة الدائرية المسطّحة (\(\pi\,\text{نق}^{2}\)). فإذا كنت بحاجة إلى القبّة وحدها، استعمل قيمة السطح المنحني المعروضة.
ما الوحدات التي تعتمدها الحاسبة؟ أي وحدة تُدخل بها نصف القطر. وتظهر المساحة بمربّع تلك الوحدة نفسها.
ما الفرق بينها وبين الكرة الكاملة؟ مساحة سطح الكرة الكاملة تساوي \(4\pi\,\text{نق}^{2}\)، بينما يساوي نصف الكرة المصمت \(3\pi\,\text{نق}^{2}\)؛ لأنك تستبدل نصف السطح المنحني للكرة بقاعدة دائرية مسطّحة.
