Ce que fait le calculateur de fréquence de de Broglie
En 1924, Louis de Broglie proposa que toute particule en mouvement est associée à une onde de matière — une idée confirmée pour les électrons par l'expérience de diffraction de Davisson–Germer en 1927 et couronnée par le prix Nobel de physique en 1929. Ce calculateur prend la masse et la vitesse d'une particule et calcule la longueur d'onde de de Broglie λ = h/(mv) ainsi que la fréquence d'onde correspondante f = v/λ = mv²/h, à partir de la quantité de mouvement non relativiste p = mv. Il indique également la quantité de mouvement, la période de l'onde T = 1/f et la vitesse exprimée en fraction de la vitesse de la lumière, afin que vous puissiez juger si la formule non relativiste est appropriée.
Comment l'utiliser
- Choisissez une particule. Les préréglages électron, proton et neutron renseignent automatiquement la masse CODATA ; choisissez Masse personnalisée pour saisir n'importe quelle masse en kilogrammes (la notation scientifique telle que
9.11e-31fonctionne). - Saisissez la vitesse en mètres par seconde. Elle doit être supérieure à zéro et inférieure à la vitesse de la lumière, c = 299 792 458 m/s.
- Lancez le calcul pour obtenir la fréquence de de Broglie en hertz, la longueur d'onde en mètres, la quantité de mouvement et la période de l'onde.
Comme le calcul utilise p = mv plutôt que la forme relativiste p = γmv, les résultats sont exacts pour des vitesses bien inférieures à celle de la lumière. En dessous d'environ 10 % de c, l'erreur sur la quantité de mouvement reste inférieure à environ 0,5 % ; au-delà, le calculateur affiche un avertissement.
La formule expliquée
La relation de de Broglie relie la longueur d'onde d'une particule à sa quantité de mouvement par l'intermédiaire de la constante de Planck h = 6.62607015×10⁻³⁴ J·s (une valeur exacte depuis la redéfinition du SI en 2019) :
$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$$La fréquence indiquée ici est celle d'une onde de longueur d'onde λ se propageant à la vitesse v de la particule :
$$f = \frac{v}{\lambda} = \frac{mv^{2} }{h}$$Une remarque sur les conventions. Les manuels divergent sur le sens de « fréquence de de Broglie ». Ce calculateur emploie f = v/λ, la fréquence obtenue directement à partir de la longueur d'onde calculée et de la vitesse de la particule. Une autre convention courante applique la relation de Planck–Einstein f = E/h : avec l'énergie cinétique E = ½mv², elle donne exactement la moitié de la valeur calculée ici, tandis qu'avec l'énergie relativiste totale E = γmc², elle donne une valeur bien plus grande dont la vitesse de phase associée vaut c²/v. Aucune n'est « fausse » — elles répondent à des questions différentes — mais lorsque vous comparez des résultats, vérifiez toujours à quelle énergie ou à quelle vitesse la fréquence se rapporte.
Exemple résolu
Prenons un électron (m = 9.1093837×10⁻³¹ kg) se déplaçant à v = 1×10⁶ m/s.
- Quantité de mouvement : p = mv = 9.1093837×10⁻³¹ × 10⁶ = 9.1094×10⁻²⁵ kg·m/s.
- Longueur d'onde : λ = h/p = 6.62607015×10⁻³⁴ / 9.1094×10⁻²⁵ ≈ 7.274×10⁻¹⁰ m, soit environ 0,727 nm — comparable à l'espacement atomique, ce qui explique précisément pourquoi les faisceaux d'électrons diffractent sur les cristaux.
- Fréquence : f = v/λ = 10⁶ / 7.274×10⁻¹⁰ ≈ 1.375×10¹⁵ Hz.
- Validité : v/c ≈ 0,0033, très en dessous de la vitesse de la lumière, la formule non relativiste est donc exacte.
Questions fréquentes
Quelle convention de fréquence ce calculateur utilise-t-il ? Il calcule f = v/λ = mv²/h, la fréquence d'une onde ayant la longueur d'onde de de Broglie de la particule et se propageant à la vitesse de celle-ci. La convention alternative de Planck–Einstein f = E/h donne mv²/(2h) si E est l'énergie cinétique (exactement la moitié de la valeur de ce calculateur) ou un nombre bien plus grand si E est l'énergie relativiste totale ; vérifiez donc toujours la convention avant de comparer des sources.
Quand la formule non relativiste est-elle exacte ? La formule λ = h/(mv) utilise la quantité de mouvement classique p = mv, qui reste une bonne approximation tant que v demeure inférieure à environ 10 % de la vitesse de la lumière — à v = 0,1c, le facteur relativiste γ ne vaut qu'environ 1,005, si bien que l'erreur sur la quantité de mouvement est d'environ 0,5 %. À des vitesses plus élevées, il faut utiliser la quantité de mouvement relativiste p = γmv, et ce calculateur signale de telles entrées par un avertissement.
Pourquoi les objets du quotidien ne montrent-ils pas de comportement ondulatoire ? Parce que leur quantité de mouvement est énorme comparée à la constante de Planck. Une balle de baseball de 0,145 kg lancée à 40 m/s a une longueur d'onde de de Broglie d'environ 1.1×10⁻³⁴ m — quelque 19 ordres de grandeur plus petite qu'un proton — de sorte que sa nature ondulatoire est totalement inobservable, alors que la longueur d'onde d'un électron est comparable aux dimensions atomiques.
