Что делает калькулятор частоты де Бройля
В 1924 году Луи де Бройль предположил, что каждой движущейся частице сопутствует волна материи — идея, подтверждённая для электронов дифракционным опытом Дэвиссона–Джермера в 1927 году и отмеченная Нобелевской премией по физике 1929 года. Этот калькулятор принимает массу и скорость частицы и вычисляет длину волны де Бройля λ = h/(mv) вместе с соответствующей частотой волны f = v/λ = mv²/h, используя нерелятивистский импульс p = mv. Он также выводит импульс, период волны T = 1/f и скорость в долях скорости света, чтобы вы могли оценить, применима ли нерелятивистская формула.
Как пользоваться
- Выберите частицу. Предустановки для электрона, протона и нейтрона автоматически подставляют массу по CODATA; выберите Произвольная масса, чтобы ввести любую массу в килограммах (научная запись вроде
9.11e-31работает). - Введите скорость в метрах в секунду. Она должна быть больше нуля и меньше скорости света, c = 299,792,458 m/s.
- Нажмите «Рассчитать», чтобы получить частоту де Бройля в герцах, длину волны в метрах, импульс и период волны.
Поскольку в расчёте используется p = mv, а не релятивистский импульс p = γmv, результаты точны для скоростей значительно ниже скорости света. Ниже примерно 10% от c погрешность импульса остаётся менее чем около 0.5%; выше этого значения калькулятор показывает предупреждение.
Разбор формулы
Соотношение де Бройля связывает длину волны частицы с её импульсом через постоянную Планка h = 6.62607015×10⁻³⁴ J·s (точное значение после переопределения СИ в 2019 году):
$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$$Приводимая здесь частота — это частота волны с длиной волны λ, движущейся со скоростью частицы v:
$$f = \frac{v}{\lambda} = \frac{mv^2}{h}$$Замечание о соглашениях. Учебники расходятся в том, что означает «частота де Бройля». Этот калькулятор использует f = v/λ — частоту, получаемую непосредственно из вычисленной длины волны и скорости частицы. Другое распространённое соглашение применяет соотношение Планка–Эйнштейна f = E/h: с кинетической энергией E = ½mv² оно даёт ровно половину вычисленного здесь значения, а с полной релятивистской энергией E = γmc² — намного большее значение, которому соответствует фазовая скорость c²/v. Ни одно из них не является «неправильным» — они отвечают на разные вопросы, — но при сравнении результатов всегда проверяйте, к какой энергии или скорости относится частота.
Разобранный пример
Возьмём электрон (m = 9.1093837×10⁻³¹ kg), движущийся со скоростью v = 1×10⁶ m/s.
- Импульс: p = mv = 9.1093837×10⁻³¹ × 10⁶ = 9.1094×10⁻²⁵ kg·m/s.
- Длина волны: λ = h/p = 6.62607015×10⁻³⁴ / 9.1094×10⁻²⁵ ≈ 7.274×10⁻¹⁰ m, около 0.727 nm — сопоставимо с межатомным расстоянием, именно поэтому пучки электронов дифрагируют на кристаллах.
- Частота: f = v/λ = 10⁶ / 7.274×10⁻¹⁰ ≈ 1.375×10¹⁵ Hz.
- Применимость: v/c ≈ 0.0033, намного ниже скорости света, поэтому нерелятивистская формула точна.
Часто задаваемые вопросы
Какое соглашение о частоте использует этот калькулятор? Он вычисляет f = v/λ = mv²/h — частоту волны с длиной волны де Бройля частицы, движущейся со скоростью частицы. Альтернативное соглашение Планка–Эйнштейна f = E/h даёт mv²/(2h), если E — кинетическая энергия (ровно половина значения этого калькулятора), или намного большее число, если E — полная релятивистская энергия, поэтому всегда уточняйте соглашение перед сравнением источников.
Когда нерелятивистская формула точна? Формула λ = h/(mv) использует классический импульс p = mv, который является хорошим приближением, пока v остаётся ниже примерно 10% скорости света — при v = 0.1c релятивистский множитель γ составляет лишь около 1.005, так что погрешность импульса примерно 0.5%. При более высоких скоростях следует использовать релятивистский импульс p = γmv, и этот калькулятор помечает такие входные данные предупреждением.
Почему повседневные предметы не проявляют волновых свойств? Потому что их импульс огромен по сравнению с постоянной Планка. Бейсбольный мяч массой 0.145 kg, брошенный со скоростью 40 m/s, имеет длину волны де Бройля около 1.1×10⁻³⁴ m — примерно на 19 порядков меньше протона — так что его волновая природа совершенно ненаблюдаема, тогда как длина волны электрона сопоставима с атомными размерами.
