Qué hace la calculadora de frecuencia de De Broglie
En 1924, Louis de Broglie propuso que toda partícula en movimiento lleva asociada una onda de materia, una idea confirmada para los electrones por el experimento de difracción de Davisson–Germer en 1927 y reconocida con el Premio Nobel de Física de 1929. Esta calculadora toma la masa y la velocidad de una partícula y calcula la longitud de onda de De Broglie λ = h/(mv) junto con la frecuencia de onda correspondiente f = v/λ = mv²/h, usando el momento no relativista p = mv. También indica el momento, el periodo de la onda T = 1/f y la velocidad como fracción de la velocidad de la luz, para que puedas juzgar si la fórmula no relativista es adecuada.
Cómo usarla
- Elige una partícula. Los valores predefinidos de electrón, protón y neutrón rellenan automáticamente la masa CODATA; elige Masa personalizada para introducir cualquier masa en kilogramos (funciona la notación científica como
9.11e-31). - Introduce la velocidad en metros por segundo. Debe ser mayor que cero y menor que la velocidad de la luz, c = 299,792,458 m/s.
- Calcula para obtener la frecuencia de De Broglie en hercios, la longitud de onda en metros, el momento y el periodo de la onda.
Como el cálculo usa p = mv en lugar del momento relativista p = γmv, los resultados son precisos para velocidades muy por debajo de la de la luz. Por debajo de aproximadamente el 10% de c, el error del momento se mantiene por debajo de un 0.5% aproximadamente; por encima de ese valor, la calculadora muestra una advertencia.
La fórmula explicada
La relación de De Broglie vincula la longitud de onda de una partícula con su momento a través de la constante de Planck h = 6.62607015×10⁻³⁴ J·s (un valor exacto desde la redefinición del SI de 2019):
$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$$La frecuencia que se indica aquí es la frecuencia de una onda de longitud λ que viaja a la velocidad v de la partícula:
$$f = \frac{v}{\lambda} = \frac{mv^2}{h}$$Una nota sobre convenciones. Los libros de texto no coinciden en qué significa la «frecuencia de De Broglie». Esta calculadora usa f = v/λ, la frecuencia que se obtiene directamente de la longitud de onda calculada y de la velocidad de la partícula. Otra convención habitual aplica la relación de Planck–Einstein f = E/h: con la energía cinética E = ½mv² da exactamente la mitad del valor calculado aquí, mientras que con la energía relativista total E = γmc² da un valor mucho mayor cuya velocidad de fase asociada es c²/v. Ninguna es «incorrecta» —responden a preguntas distintas—, pero al comparar resultados, comprueba siempre a qué energía o velocidad se refiere la frecuencia.
Ejemplo resuelto
Tomemos un electrón (m = 9.1093837×10⁻³¹ kg) que se mueve a v = 1×10⁶ m/s.
- Momento: p = mv = 9.1093837×10⁻³¹ × 10⁶ = 9.1094×10⁻²⁵ kg·m/s.
- Longitud de onda: λ = h/p = 6.62607015×10⁻³⁴ / 9.1094×10⁻²⁵ ≈ 7.274×10⁻¹⁰ m, unos 0.727 nm — comparable al espaciado atómico, que es precisamente la razón por la que los haces de electrones se difractan en los cristales.
- Frecuencia: f = v/λ = 10⁶ / 7.274×10⁻¹⁰ ≈ 1.375×10¹⁵ Hz.
- Validez: v/c ≈ 0.0033, muy por debajo de la velocidad de la luz, así que la fórmula no relativista es precisa.
Preguntas frecuentes
¿Qué convención de frecuencia usa esta calculadora? Calcula f = v/λ = mv²/h, la frecuencia de una onda con la longitud de onda de De Broglie de la partícula que se mueve a la velocidad de la partícula. La convención alternativa de Planck–Einstein f = E/h da mv²/(2h) si E es la energía cinética (exactamente la mitad del valor de esta calculadora) o un número mucho mayor si E es la energía relativista total, así que confirma siempre la convención antes de comparar fuentes.
¿Cuándo es precisa la fórmula no relativista? La fórmula λ = h/(mv) usa el momento clásico p = mv, que es una buena aproximación mientras v se mantenga por debajo de aproximadamente el 10% de la velocidad de la luz: a v = 0.1c el factor relativista γ es solo de unos 1.005, así que el error del momento es de aproximadamente el 0.5%. A velocidades mayores debes usar el momento relativista p = γmv, y esta calculadora señala esos casos con una advertencia.
¿Por qué los objetos cotidianos no muestran comportamiento ondulatorio? Porque su momento es enorme en comparación con la constante de Planck. Una pelota de béisbol de 0.145 kg lanzada a 40 m/s tiene una longitud de onda de De Broglie de aproximadamente 1.1×10⁻³⁴ m, unos 19 órdenes de magnitud menor que un protón, de modo que su naturaleza ondulatoria es completamente inobservable, mientras que la longitud de onda de un electrón es comparable a las dimensiones atómicas.
