ماذا تفعل حاسبة تردد دي برولي
في عام 1924، اقترح لويس دي برولي أن لكل جسيم متحرك موجة مادة مرافقة — وهي فكرة تأكدت بالنسبة للإلكترونات عبر تجربة الحيود لـ دافيسون–جيرمر عام 1927، وحظيت بجائزة نوبل في الفيزياء عام 1929. تأخذ هذه الحاسبة كتلة الجسيم وسرعته وتحسب طول موجة دي برولي λ = h/(mv) إلى جانب تردد الموجة المقابل f = v/λ = mv²/h، مستخدمةً كمية الحركة غير النسبية p = mv. كما تعطي كمية الحركة، ودور الموجة T = 1/f، والسرعة كنسبة من سرعة الضوء لتتمكن من الحكم على مدى ملاءمة الصيغة غير النسبية.
كيفية الاستخدام
- اختر جسيمًا. تملأ الإعدادات الجاهزة للإلكترون والبروتون والنيوترون كتلة CODATA تلقائيًا؛ اختر كتلة مخصّصة لإدخال أي كتلة بالكيلوغرام (تعمل الصيغة العلمية مثل
9.11e-31). - أدخل السرعة بالمتر لكل ثانية. يجب أن تكون أكبر من الصفر وأصغر من سرعة الضوء، c = 299,792,458 m/s.
- احسب للحصول على تردد دي برولي بالهرتز، والطول الموجي بالمتر، وكمية الحركة، ودور الموجة.
لأن الحساب يستخدم p = mv بدلًا من الصيغة النسبية p = γmv، تكون النتائج دقيقة للسرعات الأقل بكثير من سرعة الضوء. تحت نحو 10% من c يبقى خطأ كمية الحركة أقل من 0.5% تقريبًا؛ وفوق ذلك تُظهر الحاسبة تحذيرًا.
شرح الصيغة
تربط علاقة دي برولي بين طول موجة الجسيم وكمية حركته عبر ثابت بلانك h = 6.62607015×10⁻³⁴ J·s (قيمة دقيقة منذ إعادة تعريف النظام الدولي للوحدات عام 2019):
$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$$التردد المذكور هنا هو تردد موجة طولها λ تنتقل بسرعة الجسيم v:
$$f = \frac{v}{\lambda} = \frac{mv^{2} }{h}$$ملاحظة حول الاصطلاحات. تختلف الكتب الدراسية في معنى «تردد دي برولي». تستخدم هذه الحاسبة f = v/λ، أي التردد المستمد مباشرةً من الطول الموجي المحسوب ومن سرعة الجسيم. ويطبّق اصطلاح شائع آخر علاقة بلانك–أينشتاين f = E/h: فمع الطاقة الحركية E = ½mv² يعطي بالضبط نصف القيمة المحسوبة هنا، بينما مع الطاقة النسبية الكلية E = γmc² يعطي قيمة أكبر بكثير سرعتها الطورية المرافقة هي c²/v. وليس أيٌّ منها «خاطئًا» — فهي تجيب عن أسئلة مختلفة — لكن عند مقارنة النتائج تحقق دائمًا من الطاقة أو السرعة التي يشير إليها التردد.
مثال محلول
لنأخذ إلكترونًا (m = 9.1093837×10⁻³¹ kg) يتحرك بسرعة v = 1×10⁶ m/s.
- كمية الحركة: p = mv = 9.1093837×10⁻³¹ × 10⁶ = 9.1094×10⁻²⁵ kg·m/s.
- الطول الموجي: λ = h/p = 6.62607015×10⁻³⁴ / 9.1094×10⁻²⁵ ≈ 7.274×10⁻¹⁰ m، أي نحو 0.727 nm — يماثل المسافة بين الذرات، وهذا بالضبط سبب حيود حزم الإلكترونات عن البلورات.
- التردد: f = v/λ = 10⁶ / 7.274×10⁻¹⁰ ≈ 1.375×10¹⁵ Hz.
- الصلاحية: v/c ≈ 0.0033، أقل بكثير من سرعة الضوء، لذا فإن الصيغة غير النسبية دقيقة.
الأسئلة الشائعة
ما اصطلاح التردد الذي تستخدمه هذه الحاسبة؟ تحسب f = v/λ = mv²/h، أي تردد موجة لها طول موجة دي برولي للجسيم وتتحرك بسرعة الجسيم. أما اصطلاح بلانك–أينشتاين البديل f = E/h فيعطي mv²/(2h) إذا كانت E هي الطاقة الحركية (نصف قيمة هذه الحاسبة بالضبط)، أو عددًا أكبر بكثير إذا كانت E هي الطاقة النسبية الكلية، لذا تأكد دائمًا من الاصطلاح قبل مقارنة المصادر.
متى تكون الصيغة غير النسبية دقيقة؟ تستخدم الصيغة λ = h/(mv) كمية الحركة الكلاسيكية p = mv، وهي تقريب جيد ما دامت v أقل من نحو 10% من سرعة الضوء — فعند v = 0.1c يكون العامل النسبي γ نحو 1.005 فقط، ومن ثم يكون خطأ كمية الحركة نحو 0.5%. أما عند السرعات الأعلى فينبغي استخدام كمية الحركة النسبية p = γmv، وتُنبّه هذه الحاسبة على مثل هذه المدخلات بتحذير.
لماذا لا تُظهر الأجسام اليومية سلوكًا موجيًا؟ لأن كمية حركتها هائلة مقارنةً بثابت بلانك. كرة بيسبول كتلتها 0.145 kg تُرمى بسرعة 40 m/s يبلغ طول موجة دي برولي لها نحو 1.1×10⁻³⁴ m — أصغر بنحو 19 رتبة مقدار من البروتون — لذا فإن طبيعتها الموجية غير قابلة للرصد إطلاقًا، بينما يماثل طول موجة الإلكترون أبعاد الذرات.
