ド・ブロイ振動数計算機でできること
1924年、ルイ・ド・ブロイは、運動するあらゆる粒子には物質波が伴うと提唱しました。この考えは1927年のデイヴィソン–ガーマーの回折実験で電子について確認され、1929年のノーベル物理学賞で称えられました。この計算機は粒子の質量と速さを入力として、非相対論的運動量 p = mv を用いて、ド・ブロイ波長 λ = h/(mv) と対応する波の振動数 f = v/λ = mv²/h を求めます。さらに運動量、波の周期 T = 1/f、そして光速に対する割合としての速さも表示するので、非相対論的な式が適切かどうかを判断できます。
使い方
- 粒子を選びます。電子・陽子・中性子のプリセットは CODATA の質量を自動で入力します。任意の質量をキログラム単位で入力するにはカスタム質量を選びます(
9.11e-31のような指数表記も使えます)。 - 速さをメートル毎秒で入力します。ゼロより大きく、光速 c = 299,792,458 m/s より小さくなければなりません。
- 計算すると、ヘルツ単位のド・ブロイ振動数、メートル単位の波長、運動量、波の周期が得られます。
この計算は相対論的運動量 p = γmv ではなく p = mv を用いるため、結果は光速より十分に遅い速さで正確です。c の約10%以下では運動量の誤差はおよそ0.5%未満に収まりますが、それを超えると計算機は警告を表示します。
式の解説
ド・ブロイの関係式は、プランク定数 h = 6.62607015×10⁻³⁴ J·s(2019年のSI再定義以降は厳密値)を通じて、粒子の波長をその運動量と結びつけます:
$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$$ここで示す振動数は、波長 λ の波が粒子の速さ v で進むときの振動数です:
$$f = \frac{v}{\lambda} = \frac{mv^2}{h}$$規約についての注記。「ド・ブロイ振動数」が何を意味するかは教科書によって異なります。この計算機は f = v/λ、すなわち計算された波長と粒子の速さから直接得られる振動数を用います。別のよくある規約はプランク–アインシュタインの関係 f = E/h を適用します。運動エネルギー E = ½mv² を用いるとここで計算した値のちょうど半分になり、全相対論的エネルギー E = γmc² を用いるとはるかに大きな値になり、その位相速度は c²/v となります。どれも「間違い」ではなく、異なる問いに答えているだけですが、結果を比較するときは、その振動数がどのエネルギーや速度を指しているのかを必ず確認してください。
計算例
v = 1×10⁶ m/s で運動する電子(m = 9.1093837×10⁻³¹ kg)を考えます。
- 運動量:p = mv = 9.1093837×10⁻³¹ × 10⁶ = 9.1094×10⁻²⁵ kg·m/s。
- 波長:λ = h/p = 6.62607015×10⁻³⁴ / 9.1094×10⁻²⁵ ≈ 7.274×10⁻¹⁰ m、約0.727 nm — 原子間隔と同程度で、まさにこれが電子線が結晶で回折する理由です。
- 振動数:f = v/λ = 10⁶ / 7.274×10⁻¹⁰ ≈ 1.375×10¹⁵ Hz。
- 妥当性:v/c ≈ 0.0033 と光速よりはるかに小さいので、非相対論的な式で正確です。
よくある質問
この計算機はどの振動数規約を使いますか？ f = v/λ = mv²/h、すなわち粒子のド・ブロイ波長を持ち粒子の速さで進む波の振動数を計算します。別のプランク–アインシュタイン規約 f = E/h は、E が運動エネルギーなら mv²/(2h)(この計算機の値のちょうど半分)、E が全相対論的エネルギーならはるかに大きな数になるので、資料を比較する前に必ず規約を確認してください。
非相対論的な式はいつ正確ですか？ 式 λ = h/(mv) は古典的運動量 p = mv を用いており、v が光速の約10%を下回っている間は良い近似です — v = 0.1c では相対論的因子 γ はわずか約1.005なので、運動量の誤差はおよそ0.5%です。より速い速度では相対論的運動量 p = γmv を用いるべきで、この計算機はそのような入力を警告で知らせます。
身の回りの物体が波動性を示さないのはなぜですか？ それらの運動量がプランク定数に比べて桁違いに大きいからです。40 m/s で投げられた0.145 kg の野球ボールのド・ブロイ波長は約1.1×10⁻³⁴ m — 陽子より約19桁も小さく — その波動性はまったく観測できません。一方、電子の波長は原子の大きさと同程度です。
