德布羅意頻率計算器的作用
1924 年，路易·德布羅意提出每個運動粒子都伴隨一列物質波——這項設想於 1927 年由戴維森–革末繞射實驗在電子上獲得證實，並榮獲 1929 年諾貝爾物理學獎。本計算器根據粒子的質量與速度，採用非相對論動量 p = mv，計算德布羅意波長 λ = h/(mv) 以及對應的波頻率 f = v/λ = mv²/h。它還會給出動量、波的週期 T = 1/f，以及以光速的分數表示的速度，方便你判斷非相對論公式是否適用。
使用方法
- 選擇一種粒子。電子、質子與中子預設會自動填入 CODATA 質量；選擇自訂質量可輸入任意質量（單位公斤，支援
9.11e-31之類的科學記號）。 - 輸入速度，單位為公尺每秒。它必須大於零且小於光速 c = 299,792,458 m/s。
- 點擊計算，即可得到以赫茲為單位的德布羅意頻率、以公尺為單位的波長、動量以及波的週期。
由於計算採用 p = mv 而非相對論形式 p = γmv，因此結果在遠低於光速時是準確的。在約 10% 光速以下，動量誤差大致維持在 0.5% 以內；超過該值時，計算器會給出警告。
公式解析
德布羅意關係透過普朗克常數 h = 6.62607015×10⁻³⁴ J·s（自 2019 年國際單位制重新定義以來為精確值），將粒子的波長與其動量聯繫起來：
$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$$這裡給出的頻率，是波長為 λ、以粒子速度 v 傳播的波的頻率：
$$f = \frac{v}{\lambda} = \frac{mv^{2} }{h}$$關於慣例的說明。各家教材對「德布羅意頻率」的含義各有不同。本計算器採用 f = v/λ，也就是直接由計算出的波長與粒子速度所得到的頻率。另一種常見慣例套用普朗克–愛因斯坦關係 f = E/h：若 E 取動能 E = ½mv²，所得恰為本計算器數值的一半；若 E 取總相對論能量 E = γmc²，則得到大得多的數值，其對應的相速度為 c²/v。這些都不算「錯誤」——它們回答的是不同的問題——但在比較結果時，務必確認該頻率對應的是哪一種能量或速度。
計算實例
取一個電子（m = 9.1093837×10⁻³¹ kg），以 v = 1×10⁶ m/s 運動。
- 動量：p = mv = 9.1093837×10⁻³¹ × 10⁶ = 9.1094×10⁻²⁵ kg·m/s。
- 波長：λ = h/p = 6.62607015×10⁻³⁴ / 9.1094×10⁻²⁵ ≈ 7.274×10⁻¹⁰ m，約 0.727 nm——與原子間距相當，這正是電子束會在晶體上發生繞射的原因。
- 頻率：f = v/λ = 10⁶ / 7.274×10⁻¹⁰ ≈ 1.375×10¹⁵ Hz。
- 有效性：v/c ≈ 0.0033，遠低於光速，因此非相對論公式是準確的。
常見問題
本計算器採用哪一種頻率慣例？它計算 f = v/λ = mv²/h，也就是具有該粒子德布羅意波長、並以粒子速度傳播的波的頻率。另一種普朗克–愛因斯坦慣例 f = E/h，若 E 為動能則給出 mv²/(2h)（恰為本計算器數值的一半），若 E 為總相對論能量則給出大得多的數值，因此在比較不同資料前務必確認所用慣例。
非相對論公式在什麼情況下準確？公式 λ = h/(mv) 採用古典動量 p = mv，只要 v 維持在約 10% 光速以下便是良好近似——在 v = 0.1c 時，相對論因子 γ 僅約為 1.005，故動量誤差約為 0.5%。速度更高時應改用相對論動量 p = γmv，本計算器會對此類輸入給出警告。
為什麼日常物體不會表現出波動行為？因為與普朗克常數相比，它們的動量極其龐大。一顆 0.145 kg 的棒球以 40 m/s 投出，其德布羅意波長約為 1.1×10⁻³⁴ m——比質子還小約 19 個數量級——因此其波動性完全無法觀測，而電子的波長則與原子尺度相當。
