德布罗意频率计算器的作用
1924 年，路易·德布罗意提出每个运动粒子都伴随一列物质波——这一设想于 1927 年由戴维孙–革末衍射实验在电子上得到证实，并荣获 1929 年诺贝尔物理学奖。本计算器根据粒子的质量和速度，采用非相对论动量 p = mv，计算德布罗意波长 λ = h/(mv) 以及对应的波频率 f = v/λ = mv²/h。它还给出动量、波的周期 T = 1/f，以及以光速的分数表示的速度，方便你判断非相对论公式是否适用。
使用方法
- 选择一种粒子。电子、质子和中子预设会自动填入 CODATA 质量；选择自定义质量可输入任意质量（单位千克，支持
9.11e-31之类的科学计数法）。 - 输入速度，单位为米每秒。它必须大于零且小于光速 c = 299,792,458 m/s。
- 点击计算，即可得到以赫兹为单位的德布罗意频率、以米为单位的波长、动量以及波的周期。
由于计算采用 p = mv 而非相对论形式 p = γmv，因此结果在远低于光速时是准确的。在约 10% 光速以下，动量误差大致保持在 0.5% 以内；超过该值时，计算器会给出警告。
公式解析
德布罗意关系通过普朗克常数 h = 6.62607015×10⁻³⁴ J·s（自 2019 年国际单位制重新定义以来为精确值），将粒子的波长与其动量联系起来：
$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$$这里给出的频率，是波长为 λ、以粒子速度 v 传播的波的频率：
$$f = \frac{v}{\lambda} = \frac{mv^{2} }{h}$$关于约定的说明。各类教材对“德布罗意频率”的含义存在分歧。本计算器采用 f = v/λ，即直接由计算出的波长和粒子速度得到的频率。另一种常见约定应用普朗克–爱因斯坦关系 f = E/h：若 E 取动能 E = ½mv²，所得恰为本计算器数值的一半；若 E 取总相对论能量 E = γmc²，则得到大得多的数值，其对应的相速度为 c²/v。这些都不算“错误”——它们回答的是不同的问题——但在比较结果时，务必确认该频率对应的是哪种能量或速度。
计算实例
取一个电子（m = 9.1093837×10⁻³¹ kg），以 v = 1×10⁶ m/s 运动。
- 动量：p = mv = 9.1093837×10⁻³¹ × 10⁶ = 9.1094×10⁻²⁵ kg·m/s。
- 波长：λ = h/p = 6.62607015×10⁻³⁴ / 9.1094×10⁻²⁵ ≈ 7.274×10⁻¹⁰ m，约 0.727 nm——与原子间距相当，这正是电子束会在晶体上发生衍射的原因。
- 频率：f = v/λ = 10⁶ / 7.274×10⁻¹⁰ ≈ 1.375×10¹⁵ Hz。
- 有效性：v/c ≈ 0.0033，远低于光速，因此非相对论公式是准确的。
常见问题
本计算器采用哪种频率约定？它计算 f = v/λ = mv²/h，即具有该粒子德布罗意波长、并以粒子速度传播的波的频率。另一种普朗克–爱因斯坦约定 f = E/h，若 E 为动能则给出 mv²/(2h)（恰为本计算器数值的一半），若 E 为总相对论能量则给出大得多的数值，因此在比较不同资料前务必确认所用约定。
非相对论公式在什么情况下准确？公式 λ = h/(mv) 采用经典动量 p = mv，只要 v 保持在约 10% 光速以下便是良好近似——在 v = 0.1c 时，相对论因子 γ 仅约为 1.005，故动量误差约为 0.5%。速度更高时应改用相对论动量 p = γmv，本计算器会对此类输入给出警告。
为什么日常物体不表现出波动行为？因为与普朗克常数相比，它们的动量极其巨大。一个 0.145 kg 的棒球以 40 m/s 投出，其德布罗意波长约为 1.1×10⁻³⁴ m——比质子还小约 19 个数量级——因此其波动性完全无法观测，而电子的波长则与原子尺度相当。
