डी ब्रॉग्ली आवृत्ति कैलकुलेटर क्या करता है
1924 में लुई द ब्रॉग्ली ने प्रस्तावित किया कि हर गतिशील कण के साथ एक संबद्ध पदार्थ तरंग होती है — यह विचार 1927 में डेविसन–जर्मर विवर्तन प्रयोग द्वारा इलेक्ट्रॉनों के लिए पुष्ट हुआ और 1929 के भौतिकी नोबेल पुरस्कार से सम्मानित किया गया। यह कैलकुलेटर किसी कण का द्रव्यमान और चाल लेकर, अ-आपेक्षिकीय संवेग p = mv का उपयोग करते हुए, डी ब्रॉग्ली तरंगदैर्घ्य λ = h/(mv) तथा उससे संबंधित तरंग आवृत्ति f = v/λ = mv²/h की गणना करता है। यह संवेग, तरंग आवर्तकाल T = 1/f और प्रकाश की चाल के अंश के रूप में चाल भी बताता है, ताकि आप आंक सकें कि अ-आपेक्षिकीय सूत्र उपयुक्त है या नहीं।
इसका उपयोग कैसे करें
- एक कण चुनें। इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन और न्यूट्रॉन प्रीसेट स्वतः CODATA द्रव्यमान भर देते हैं; किसी भी द्रव्यमान को किलोग्राम में दर्ज करने के लिए कस्टम द्रव्यमान चुनें (वैज्ञानिक संकेतन जैसे
9.11e-31काम करता है)। - चाल मीटर प्रति सेकंड में दर्ज करें। यह शून्य से अधिक और प्रकाश की चाल c = 299,792,458 m/s से कम होनी चाहिए।
- हर्ट्ज़ में डी ब्रॉग्ली आवृत्ति, मीटर में तरंगदैर्घ्य, संवेग और तरंग आवर्तकाल पाने के लिए गणना करें।
चूँकि गणना आपेक्षिकीय संवेग p = γmv के बजाय p = mv का उपयोग करती है, परिणाम प्रकाश की चाल से काफी कम गति के लिए सटीक होते हैं। c के लगभग 10% से नीचे संवेग त्रुटि लगभग 0.5% से कम रहती है; इससे ऊपर होने पर कैलकुलेटर एक चेतावनी दिखाता है।
सूत्र की व्याख्या
डी ब्रॉग्ली संबंध किसी कण के तरंगदैर्घ्य को उसके संवेग से प्लांक स्थिरांक h = 6.62607015×10⁻³⁴ J·s (2019 की SI पुनर्परिभाषा के बाद से एक यथार्थ मान) के माध्यम से जोड़ता है:
$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$$यहाँ बताई गई आवृत्ति उस तरंग की आवृत्ति है जिसका तरंगदैर्घ्य λ है और जो कण की चाल v से गमन करती है:
$$f = \frac{v}{\lambda} = \frac{mv^2}{h}$$परिपाटियों के बारे में एक टिप्पणी। «डी ब्रॉग्ली आवृत्ति» का क्या अर्थ है, इस पर पाठ्यपुस्तकें भिन्न हैं। यह कैलकुलेटर f = v/λ का उपयोग करता है, जो परिकलित तरंगदैर्घ्य और कण की चाल से सीधे प्राप्त आवृत्ति है। एक अन्य सामान्य परिपाटी प्लांक–आइंस्टाइन संबंध f = E/h लागू करती है: गतिज ऊर्जा E = ½mv² के साथ यह यहाँ परिकलित मान का ठीक आधा देती है, जबकि कुल आपेक्षिकीय ऊर्जा E = γmc² के साथ यह एक बहुत बड़ा मान देती है जिसकी संबद्ध कला वेग c²/v है। इनमें से कोई भी «गलत» नहीं है — ये अलग-अलग प्रश्नों के उत्तर देती हैं — पर परिणामों की तुलना करते समय हमेशा जाँचें कि आवृत्ति किस ऊर्जा या वेग को संदर्भित करती है।
हल किया गया उदाहरण
एक इलेक्ट्रॉन लें (m = 9.1093837×10⁻³¹ kg) जो v = 1×10⁶ m/s से गतिमान है।
- संवेग: p = mv = 9.1093837×10⁻³¹ × 10⁶ = 9.1094×10⁻²⁵ kg·m/s।
- तरंगदैर्घ्य: λ = h/p = 6.62607015×10⁻³⁴ / 9.1094×10⁻²⁵ ≈ 7.274×10⁻¹⁰ m, लगभग 0.727 nm — परमाणु अंतराल के तुलनीय, और यही कारण है कि इलेक्ट्रॉन किरणपुंज क्रिस्टलों से विवर्तित होते हैं।
- आवृत्ति: f = v/λ = 10⁶ / 7.274×10⁻¹⁰ ≈ 1.375×10¹⁵ Hz।
- वैधता: v/c ≈ 0.0033, प्रकाश की चाल से बहुत कम, इसलिए अ-आपेक्षिकीय सूत्र सटीक है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
यह कैलकुलेटर कौन-सी आवृत्ति परिपाटी उपयोग करता है? यह f = v/λ = mv²/h की गणना करता है, जो कण के डी ब्रॉग्ली तरंगदैर्घ्य वाली और कण की चाल से गमन करने वाली तरंग की आवृत्ति है। वैकल्पिक प्लांक–आइंस्टाइन परिपाटी f = E/h देती है mv²/(2h) यदि E गतिज ऊर्जा है (इस कैलकुलेटर के मान का ठीक आधा), या यदि E कुल आपेक्षिकीय ऊर्जा है तो एक बहुत बड़ी संख्या, इसलिए स्रोतों की तुलना करने से पहले हमेशा परिपाटी की पुष्टि करें।
अ-आपेक्षिकीय सूत्र कब सटीक होता है? सूत्र λ = h/(mv) चिरसम्मत संवेग p = mv का उपयोग करता है, जो तब तक अच्छा सन्निकटन है जब तक v प्रकाश की चाल के लगभग 10% से नीचे रहती है — v = 0.1c पर आपेक्षिकीय गुणक γ केवल लगभग 1.005 है, इसलिए संवेग त्रुटि लगभग 0.5% होती है। अधिक गति पर आपको आपेक्षिकीय संवेग p = γmv का उपयोग करना चाहिए, और यह कैलकुलेटर ऐसे इनपुट को एक चेतावनी के साथ चिह्नित करता है।
रोज़मर्रा की वस्तुएँ तरंग व्यवहार क्यों नहीं दिखातीं? क्योंकि उनका संवेग प्लांक स्थिरांक की तुलना में विशाल होता है। 40 m/s से फेंकी गई 0.145 kg की बेसबॉल का डी ब्रॉग्ली तरंगदैर्घ्य लगभग 1.1×10⁻³⁴ m होता है — एक प्रोटॉन से लगभग 19 कोटि परिमाण छोटा — इसलिए इसकी तरंग प्रकृति पूरी तरह अप्रेक्ष्य है, जबकि एक इलेक्ट्रॉन का तरंगदैर्घ्य परमाणु आयामों के तुलनीय होता है।
