드브로이 진동수 계산기가 하는 일
1924년 루이 드브로이는 운동하는 모든 입자에 물질파가 동반된다고 제안했습니다. 이 생각은 1927년 데이비슨–거머 회절 실험으로 전자에 대해 확인되었고 1929년 노벨 물리학상으로 인정받았습니다. 이 계산기는 입자의 질량과 속력을 입력받아 비상대론적 운동량 p = mv를 사용하여 드브로이 파장 λ = h/(mv)와 이에 대응하는 파동의 진동수 f = v/λ = mv²/h를 계산합니다. 또한 운동량, 파동의 주기 T = 1/f, 그리고 빛의 속력에 대한 비율로 나타낸 속력을 함께 알려주어 비상대론적 공식이 적절한지 판단할 수 있게 합니다.
사용 방법
- 입자를 선택하세요. 전자, 양성자, 중성자 프리셋은 CODATA 질량을 자동으로 채웁니다. 임의의 질량을 킬로그램 단위로 입력하려면 사용자 지정 질량을 선택하세요(
9.11e-31같은 과학적 표기법도 사용할 수 있습니다). - 속력을 미터 매 초 단위로 입력하세요. 0보다 크고 빛의 속력 c = 299,792,458 m/s보다 작아야 합니다.
- 계산하면 헤르츠 단위의 드브로이 진동수, 미터 단위의 파장, 운동량, 파동의 주기를 얻습니다.
이 계산은 상대론적 운동량 p = γmv 대신 p = mv를 사용하므로, 결과는 빛의 속력보다 충분히 낮은 속력에서 정확합니다. c의 약 10% 아래에서는 운동량 오차가 대략 0.5% 미만으로 유지되며, 그 이상에서는 계산기가 경고를 표시합니다.
공식 설명
드브로이 관계식은 플랑크 상수 h = 6.62607015×10⁻³⁴ J·s(2019년 SI 재정의 이후 정확한 값)를 통해 입자의 파장을 그 운동량과 연결합니다:
$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$$여기서 제시하는 진동수는 파장 λ인 파동이 입자의 속력 v로 진행할 때의 진동수입니다:
$$f = \frac{v}{\lambda} = \frac{mv^2}{h}$$관례에 관한 참고. 「드브로이 진동수」가 무엇을 의미하는지는 교과서마다 다릅니다. 이 계산기는 f = v/λ, 즉 계산된 파장과 입자의 속력에서 직접 얻은 진동수를 사용합니다. 또 다른 흔한 관례는 플랑크–아인슈타인 관계 f = E/h를 적용합니다. 운동 에너지 E = ½mv²를 쓰면 여기서 계산한 값의 정확히 절반이 되고, 전체 상대론적 에너지 E = γmc²를 쓰면 훨씬 큰 값이 되며 그 위상 속도는 c²/v입니다. 어느 것도 「틀린」 것은 아니며 서로 다른 질문에 답할 뿐이지만, 결과를 비교할 때는 그 진동수가 어떤 에너지나 속도를 가리키는지 항상 확인하세요.
풀이 예제
v = 1×10⁶ m/s로 운동하는 전자(m = 9.1093837×10⁻³¹ kg)를 생각해 봅시다.
- 운동량: p = mv = 9.1093837×10⁻³¹ × 10⁶ = 9.1094×10⁻²⁵ kg·m/s.
- 파장: λ = h/p = 6.62607015×10⁻³⁴ / 9.1094×10⁻²⁵ ≈ 7.274×10⁻¹⁰ m, 약 0.727 nm — 원자 간격과 비슷하며, 바로 이것이 전자 빔이 결정에서 회절하는 이유입니다.
- 진동수: f = v/λ = 10⁶ / 7.274×10⁻¹⁰ ≈ 1.375×10¹⁵ Hz.
- 유효성: v/c ≈ 0.0033으로 빛의 속력보다 훨씬 낮으므로 비상대론적 공식이 정확합니다.
자주 묻는 질문
이 계산기는 어떤 진동수 관례를 사용하나요? f = v/λ = mv²/h, 즉 입자의 드브로이 파장을 가지며 입자의 속력으로 진행하는 파동의 진동수를 계산합니다. 대안인 플랑크–아인슈타인 관례 f = E/h는 E가 운동 에너지이면 mv²/(2h)(이 계산기 값의 정확히 절반)을, E가 전체 상대론적 에너지이면 훨씬 큰 수를 주므로, 자료를 비교하기 전에 항상 관례를 확인하세요.
비상대론적 공식은 언제 정확한가요? 공식 λ = h/(mv)는 고전적 운동량 p = mv를 사용하며, v가 빛의 속력의 약 10% 아래에 머무는 동안에는 좋은 근사입니다 — v = 0.1c에서 상대론적 인자 γ는 약 1.005에 불과하므로 운동량 오차는 대략 0.5%입니다. 더 빠른 속력에서는 상대론적 운동량 p = γmv를 사용해야 하며, 이 계산기는 그러한 입력을 경고로 표시합니다.
일상적인 물체가 파동성을 보이지 않는 이유는 무엇인가요? 그 운동량이 플랑크 상수에 비해 엄청나게 크기 때문입니다. 40 m/s로 던진 0.145 kg 야구공의 드브로이 파장은 약 1.1×10⁻³⁴ m로 — 양성자보다 약 19자릿수 작아 — 그 파동성은 전혀 관측할 수 없는 반면, 전자의 파장은 원자 크기와 비슷합니다.
