Ce que fait ce calculateur
Cet outil détermine la somme à l'infini d'une série géométrique, notée en notation sigma comme la somme infinie de \(a\cdot r^{k}\) pour \(k\) allant de 0 à l'infini. Dans une série géométrique, chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par une raison constante \(r\). Lorsque cette raison est suffisamment petite, les sommes partielles se stabilisent autour d'une valeur finie unique, alors même que le nombre de termes est infini.
Comment l'utiliser
Saisissez le premier terme \(a\) (la valeur du tout premier terme de la série) et la raison \(r\) (le nombre par lequel on multiplie chaque terme pour obtenir le suivant). Cliquez sur « Calculer ». Si la valeur absolue de \(r\) est inférieure à 1, le calculateur renvoie la somme finie ; sinon, il vous avertit que la série diverge.
La formule expliquée
La forme close est $$S_\infty = \frac{\text{Premier terme }(a)}{1 - \text{Raison }(r)}.$$ Elle découle de la formule de la somme partielle \(S_n = \frac{a(1 - r^{n})}{1 - r}\). À mesure que \(n\) croît sans limite, \(r^{n}\) tend vers 0 dès que \(|r| < 1\), ce qui laisse \(S = \frac{a}{1 - r}\). Si \(|r|\) est égal ou supérieur à 1, \(r^{n}\) ne s'annule pas : aucune limite finie n'existe et la série diverge.
Exemple détaillé
Prenons \(a = 1\) et \(r = 1/2\). Les termes sont 1, 0,5, 0,25, 0,125, etc. Comme \(|r| = 0{,}5 < 1\), la série converge. Avec la formule : $$S = \frac{1}{1 - 0{,}5} = \frac{1}{0{,}5} = 2.$$ Cette somme infinie vaut exactement 2.
FAQ
Et si \(r\) est négatif ? Une raison négative fonctionne aussi, tant que \(|r| < 1\) ; par exemple, avec \(a = 3\) et \(r = -0{,}5\), on obtient \(S = \frac{3}{1{,}5} = 2\). Les termes changent alors alternativement de signe.
Pourquoi faut-il que \(|r|\) soit inférieur à 1 ? C'est uniquement dans ce cas que les termes suivants deviennent assez petits, assez vite, pour que le total se rapproche d'un nombre fixe. Si \(|r| \ge 1\), les termes ne diminuent pas et la somme croît sans limite.
Le premier terme doit-il correspondre au terme \(k = 0\) ? Saisissez simplement la valeur qui constitue le premier terme de votre série ; la formule utilise directement cette valeur comme \(a\).
