Công cụ này dùng để làm gì
Máy tính này giúp bạn tìm tổng vô hạn của một cấp số nhân, được viết dưới dạng ký hiệu sigma là tổng vô hạn của \(a\cdot r^{k}\) với \(k\) chạy từ 0 trở đi. Trong cấp số nhân, mỗi số hạng được tạo ra bằng cách nhân số hạng đứng trước với một công bội \(r\) cố định. Khi công bội đủ nhỏ, các tổng riêng phần sẽ tiến dần về một giá trị hữu hạn duy nhất, dù số hạng nhiều đến vô hạn.
Cách sử dụng
Nhập số hạng đầu \(a\) (giá trị của số hạng đầu tiên trong dãy) và công bội \(r\) (số mà mỗi số hạng được nhân với để ra số hạng kế tiếp). Sau đó nhấn nút tính. Nếu giá trị tuyệt đối của \(r\) nhỏ hơn 1, máy tính sẽ trả về tổng hữu hạn; ngược lại, công cụ sẽ cảnh báo rằng dãy phân kỳ.
Giải thích công thức
Công thức rút gọn là $$S = \frac{a}{1 - r}$$ Nó xuất phát từ công thức tổng riêng phần \(S_n = \frac{a(1 - r^{n})}{1 - r}\). Khi \(n\) tăng vô hạn, \(r^{n}\) tiến về 0 mỗi khi \(|r| < 1\), để lại \(S = \frac{a}{1 - r}\). Nếu \(|r|\) bằng hoặc lớn hơn 1, \(r^{n}\) không triệt tiêu, nên không tồn tại giới hạn hữu hạn và dãy bị phân kỳ.
Ví dụ minh họa
Lấy \(a = 1\) và \(r = 1/2\). Các số hạng lần lượt là 1; 0,5; 0,25; 0,125; ... Vì \(|r| = 0{,}5 < 1\) nên dãy hội tụ. Áp dụng công thức: $$S = \frac{1}{1 - 0{,}5} = \frac{1}{0{,}5} = 2$$ Tổng vô hạn này bằng đúng 2.
Câu hỏi thường gặp
Nếu r âm thì sao? Công bội âm vẫn dùng được miễn là \(|r| < 1\); ví dụ \(a = 3\), \(r = -0{,}5\) cho kết quả \(S = \frac{3}{1{,}5} = 2\). Khi đó các số hạng sẽ có dấu xen kẽ nhau.
Vì sao |r| phải nhỏ hơn 1? Chỉ khi đó các số hạng phía sau mới nhỏ đi đủ nhanh để tổng tiến về một con số cố định. Nếu \(|r| \ge 1\) thì các số hạng không nhỏ dần và tổng tăng vô hạn.
Số hạng đầu có bắt buộc là số hạng ứng với k = 0 không? Bạn chỉ cần nhập giá trị của số hạng đầu tiên trong dãy của mình; công thức sẽ dùng trực tiếp giá trị đó làm \(a\).
