Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula la suma hasta el infinito de una serie geométrica, que en notación de sumatorio se expresa como la suma infinita de a·r^{k} desde k = 0 en adelante. En una serie geométrica, cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón común \(r\) que se mantiene constante. Cuando esa razón es lo bastante pequeña, las sumas parciales se acercan a un único valor finito, aunque haya infinitos términos que sumar.
Cómo usarla
Introduce el primer término \(a\) (el valor del primer término de la serie) y la razón común \(r\) (el número por el que se multiplica cada término para obtener el siguiente). Pulsa calcular. Si el valor absoluto de \(r\) es menor que 1, la calculadora devuelve la suma finita; en caso contrario, te avisa de que la serie diverge.
La fórmula explicada
La forma cerrada es $$S = \frac{a}{1 - r}$$ Se deduce de la fórmula de la suma parcial $$S_n = \frac{a(1 - r^{n})}{1 - r}$$ A medida que \(n\) crece sin límite, \(r^{n}\) tiende a 0 siempre que \(|r| < 1\), y queda \(S = \frac{a}{1 - r}\). Si \(|r|\) es igual o mayor que 1, \(r^{n}\) no se anula, por lo que no existe un límite finito y la serie diverge.
Ejemplo resuelto
Tomemos \(a = 1\) y \(r = 1/2\). Los términos son 1, 0,5, 0,25, 0,125, ... Como \(|r| = 0{,}5 < 1\), la serie converge. Aplicando la fórmula: $$S = \frac{1}{1 - 0{,}5} = \frac{1}{0{,}5} = 2$$ La suma infinita vale exactamente 2.
Preguntas frecuentes
¿Qué pasa si r es negativo? Una razón negativa también funciona siempre que \(|r| < 1\); por ejemplo, con \(a = 3\) y \(r = -0{,}5\) obtenemos \(S = \frac{3}{1{,}5} = 2\). En este caso, los términos van alternando su signo.
¿Por qué |r| tiene que ser menor que 1? Solo así los términos posteriores se hacen lo bastante pequeños y con la rapidez suficiente para que el total se aproxime a un número fijo. Si \(|r| \ge 1\), los términos no disminuyen y la suma crece sin límite.
¿El primer término tiene que ser el término k = 0? Introduce sin más el valor que sea el primer término de tu serie; la fórmula utiliza ese valor directamente como \(a\).
