这个计算器的作用
本工具用来计算无穷等比级数的和，用求和符号表示就是从 \(k = 0\) 开始的无穷项 \(a\cdot r^{k}\) 之和。等比级数的每一项都等于前一项乘以一个固定的公比 \(r\)。当公比足够小时，尽管项数有无穷多个，部分和也会逐渐逼近一个确定的有限数值。
使用方法
填入首项 \(a\)（级数中第一项的数值）和公比 \(r\)（每一项乘以它就能得到下一项的那个数），然后点击计算。如果 \(r\) 的绝对值小于 1，计算器会给出有限的和；否则会提示该级数发散。
公式详解
闭式公式为 $$S = \frac{a}{1 - r}$$ 它由部分和公式 $$S_n = \frac{a(1 - r^{n})}{1 - r}$$ 推导而来。当 \(|r| < 1\) 时，随着 \(n\) 不断增大，\(r^{n}\) 会趋近于 0，于是只剩下 \(S = \frac{a}{1 - r}\)。如果 \(|r|\) 大于或等于 1，\(r^{n}\) 不会消失，因此不存在有限的极限，级数发散。
实例演示
设 \(a = 1\)，\(r = \frac{1}{2}\)。各项依次为 1、0.5、0.25、0.125……由于 \(|r| = 0.5 < 1\)，该级数收敛。代入公式：$$S = \frac{1}{1 - 0.5} = \frac{1}{0.5} = 2$$ 这个无穷求和的结果恰好等于 2。
常见问题
如果 \(r\) 是负数会怎样？只要 \(|r| < 1\)，负的公比同样适用；例如 \(a = 3\)、\(r = -0.5\)，则 \(S = \frac{3}{1.5} = 2\)，此时各项的正负号会交替出现。
为什么 \(|r|\) 必须小于 1？只有这样，后续各项才会足够快地变小，使总和能够逼近一个固定的数值。若 \(|r| \ge 1\)，各项不再缩小，和就会无限增大。
首项一定要是 \(k = 0\) 那一项吗？把你级数的第一项数值直接填进去即可，公式会直接把它当作 \(a\) 来使用。
