この計算機でできること
このツールは、等比級数の無限和を求めるものです。シグマ記号では、k = 0 から始まる \(a r^{k}\) の無限和として表されます。等比級数とは、各項に一定の公比 \(r\) を掛けて次の項をつくっていく数列の和のことです。公比が十分に小さいとき、項は無限に続くにもかかわらず、部分和は一つの有限な値に近づいていきます。
使い方
初項 \(a\)（級数の最初の項の値）と公比 \(r\)（前の項に掛けて次の項を得る数）を入力し、計算ボタンを押します。\(r\) の絶対値が 1 より小さい場合は有限の和が表示され、そうでない場合は級数が発散する旨の警告が表示されます。
公式の解説
閉じた形の公式は次の通りです。
$$S_\infty = \frac{\text{First term }(a)}{1 - \text{Common ratio }(r)}\quad\text{for}\;\left|\text{Common ratio }(r)\right| < 1$$これは部分和の公式 \(S_n = a(1 - r^{n}) / (1 - r)\) から導かれます。\(n\) を限りなく大きくしていくと、\(|r| < 1\) のときに限って \(r^{n}\) は 0 に近づき、結果として \(S = a / (1 - r)\) が残ります。\(|r|\) が 1 以上の場合、\(r^{n}\) は 0 に近づかないため有限の極限が存在せず、級数は発散します。
計算例
\(a = 1\)、\(r = 1/2\) とします。各項は 1, 0.5, 0.25, 0.125, … と続きます。\(|r| = 0.5 < 1\) なので、この級数は収束します。公式を使うと、
$$S = \frac{1}{1 - 0.5} = \frac{1}{0.5} = 2$$となります。無限に続く和は、ちょうど 2 に等しくなります。
よくある質問
\(r\) が負の数の場合はどうなりますか？ 公比が負でも、\(|r| < 1\) であれば問題なく成り立ちます。たとえば \(a = 3\)、\(r = -0.5\) のとき、\(S = 3 / 1.5 = 2\) となります。この場合、各項の符号は正と負が交互に現れます。
なぜ \(|r|\) は 1 より小さくなければならないのですか？ \(|r| < 1\) のときに限り、後ろの項が十分に速く小さくなり、合計が一定の値に近づくからです。\(|r| \ge 1\) の場合は項が小さくならず、和は限りなく大きくなってしまいます。
初項は必ず \(k = 0\) の項でなければなりませんか？ あなたの級数の最初の項にあたる値を入力してください。公式はその値をそのまま \(a\) として使います。
