यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल किसी गुणोत्तर श्रेणी (geometric series) का अनंत तक योग निकालता है, जिसे सिग्मा संकेतन में \(k = 0\) से शुरू होकर \(a r^{k}\) के अनंत योग के रूप में लिखा जाता है। गुणोत्तर श्रेणी में हर अगला पद पिछले पद को एक निश्चित सार्व अनुपात \(r\) से गुणा करके मिलता है। जब यह अनुपात पर्याप्त छोटा होता है, तो अनंत पद होने के बावजूद आंशिक योग एक ही सीमित मान पर टिक जाते हैं।
इसका उपयोग कैसे करें
पहला पद \(a\) (श्रेणी के सबसे पहले पद का मान) और सार्व अनुपात \(r\) (वह संख्या जिससे गुणा करके अगला पद मिलता है) दर्ज करें। फिर गणना (calculate) बटन दबाएँ। यदि \(r\) का निरपेक्ष मान 1 से कम है, तो कैलकुलेटर सीमित योग दे देगा; अन्यथा यह चेतावनी देगा कि श्रेणी अपसारी (diverge) है।
सूत्र की व्याख्या
इसका बंद रूप (closed form) है $$S = \frac{a}{1 - r}$$ यह आंशिक-योग सूत्र $$S_n = \frac{a(1 - r^{n})}{1 - r}$$ से आता है। जैसे-जैसे \(n\) असीमित रूप से बढ़ता है, जब भी \(|r| < 1\) हो तब \(r^{n}\) घटकर 0 की ओर चला जाता है, और बच जाता है \(S = \frac{a}{1 - r}\)। यदि \(|r|\) 1 या उससे बड़ा हो, तो \(r^{n}\) लुप्त नहीं होता, इसलिए कोई सीमित मान मौजूद नहीं रहता और श्रेणी अपसारी हो जाती है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(a = 1\) और \(r = \frac{1}{2}\)। तब पद होंगे 1, 0.5, 0.25, 0.125, ... चूँकि \(|r| = 0.5 < 1\) है, इसलिए श्रेणी अभिसारी (converge) है। सूत्र का उपयोग करते हुए: $$S = \frac{1}{1 - 0.5} = \frac{1}{0.5} = 2$$ यह अनंत योग ठीक 2 के बराबर है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
अगर \(r\) ऋणात्मक हो तो? ऋणात्मक अनुपात भी काम करता है, बशर्ते \(|r| < 1\) हो; जैसे \(a = 3\), \(r = -0.5\) लेने पर \(S = \frac{3}{1.5} = 2\) मिलता है। ऐसे में पदों के चिह्न बारी-बारी से बदलते रहते हैं।
\(|r|\) का 1 से कम होना ज़रूरी क्यों है? केवल तभी बाद के पद इतनी तेज़ी से छोटे होते हैं कि कुल योग किसी निश्चित संख्या के पास पहुँच पाता है। यदि \(|r| \ge 1\) हो, तो पद छोटे नहीं होते और योग बिना किसी सीमा के बढ़ता जाता है।
क्या पहला पद हमेशा \(k = 0\) वाला पद ही होना चाहिए? आप अपनी श्रेणी का जो भी पहला पद हो, वही मान दर्ज करें; सूत्र उसी मान को सीधे \(a\) के रूप में इस्तेमाल करता है।
