Что считает этот калькулятор
Инструмент находит сумму бесконечной геометрической прогрессии — в записи через знак суммы это бесконечный ряд из членов вида \(a\cdot r^{k}\), начиная с \(k = 0\). В геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянный знаменатель \(r\). Если знаменатель достаточно мал по модулю, частичные суммы «сходятся» к одному конечному числу, несмотря на то что слагаемых бесконечно много.
Как пользоваться
Введите первый член \(a\) (значение самого первого члена прогрессии) и знаменатель \(r\) (число, на которое умножается каждый член, чтобы получить следующий). Нажмите «Рассчитать». Если модуль \(r\) меньше 1, калькулятор выдаст конечную сумму; в противном случае он предупредит, что ряд расходится.
Разбор формулы
Готовая формула выглядит так:
$$S = \frac{a}{1 - r}$$Она следует из формулы частичной суммы
$$S_n = \frac{a(1 - r^{n})}{1 - r}$$Когда \(n\) неограниченно растёт, при \(|r| < 1\) величина \(r^{n}\) стремится к 0, и остаётся \(S = \frac{a}{1 - r}\). Если же \(|r|\) равен 1 или больше, \(r^{n}\) к нулю не стремится — конечного предела нет, и ряд расходится.
Пример с решением
Возьмём \(a = 1\) и \(r = 1/2\). Члены прогрессии: 1; 0,5; 0,25; 0,125; ... Так как \(|r| = 0{,}5 < 1\), ряд сходится. По формуле:
$$S = \frac{1}{1 - 0{,}5} = \frac{1}{0{,}5} = 2$$Бесконечная сумма равна ровно 2.
Частые вопросы
А если \(r\) отрицательный? Отрицательный знаменатель тоже подходит, пока выполняется \(|r| < 1\). Например, при \(a = 3\) и \(r = -0{,}5\) получаем \(S = \frac{3}{1{,}5} = 2\). При этом знаки членов чередуются.
Почему \(|r|\) обязательно меньше 1? Только в этом случае дальние члены убывают достаточно быстро, чтобы общая сумма приближалась к фиксированному числу. Если \(|r| \ge 1\), члены не уменьшаются, и сумма растёт без предела.
Должен ли первый член соответствовать \(k = 0\)? Введите то значение, которое реально является первым членом вашей прогрессии, — формула подставит его как \(a\) напрямую.
