這個計算器能做什麼
本工具用來計算無窮等比級數的總和，以求和符號表示就是從 \(k = 0\) 開始、對 \(a\cdot r^{k}\) 的無窮加總。所謂等比級數，是指每一項都把前一項乘上固定的公比 \(r\) 所得到的數列相加。當公比夠小時，即使項數有無窮多個，部分和也會逐漸趨近於一個確定的有限數值。
使用方法
先輸入首項 \(a\)（級數中第一項的數值），再輸入公比 \(r\)（每一項乘上多少倍後得到下一項）。接著按下計算。若 \(r\) 的絕對值小於 1，計算器會回傳有限的總和；否則它會提醒你該級數發散、沒有總和。
公式解析
封閉形式為 $$S = \frac{a}{1 - r}.$$ 它源自部分和公式 $$S_n = \frac{a(1 - r^{n})}{1 - r}.$$ 當 \(n\) 不斷增大時，只要 \(|r| < 1\)，\(r^{n}\) 就會趨近於 0，於是剩下 $$S = \frac{a}{1 - r}.$$ 但若 \(|r|\) 大於或等於 1，\(r^{n}\) 不會消失，因此沒有有限的極限，級數便發散。
實例演算
取 \(a = 1\)、\(r = 1/2\)，各項依序為 1、0.5、0.25、0.125、……。由於 \(|r| = 0.5 < 1\)，這個級數會收斂。代入公式：$$S = \frac{1}{1 - 0.5} = \frac{1}{0.5} = 2.$$ 也就是說，這個無窮加總的結果恰好等於 2。
常見問題
如果 \(r\) 是負數呢？只要 \(|r| < 1\)，負的公比一樣成立；例如 \(a = 3\)、\(r = -0.5\)，得到 \(S = \frac{3}{1.5} = 2\)，此時各項的正負號會交替出現。
為什麼 \(|r|\) 一定要小於 1？唯有如此，後面的項才會夠快地變小，使總和能逼近一個固定的數值。若 \(|r| \geq 1\)，各項不會縮小，總和就會無限增大。
首項一定要是 \(k = 0\) 的那一項嗎？不必拘泥，直接把你的級數第一項的數值輸入即可；公式會直接把這個值當作 \(a\) 來計算。
