Bu araç ne işe yarar?
Bu araç, sigma gösteriminde k = 0'dan başlayarak \(a \cdot r^{k}\) teriminin sonsuz toplamı olarak yazılan bir geometrik serinin sonsuza giden toplamını hesaplar. Geometrik seride her terim, bir önceki terimin sabit bir ortak oran \(r\) ile çarpılmasıyla elde edilir. Oran yeterince küçük olduğunda, sonsuz sayıda terim bulunmasına rağmen kısmi toplamlar tek bir sonlu değere oturur.
Nasıl kullanılır?
İlk terim \(a\) değerini (serideki en baştaki terimin değeri) ve ortak oran \(r\) değerini (her terimin bir sonrakini elde etmek için çarpıldığı sayı) girin. Hesapla düğmesine basın. \(r\)'nin mutlak değeri 1'den küçükse, araç sonlu toplamı verir; aksi halde serinin ıraksadığı konusunda sizi uyarır.
Formülün açıklaması
Kapalı form ifade $$S_\infty = \frac{\text{First term }(a)}{1 - \text{Common ratio }(r)}$$ şeklindedir. Bu ifade, kısmi toplam formülü olan \(S_n = \frac{a(1 - r^{n})}{1 - r}\)'den türetilir. \(n\) sınırsız büyüdükçe, \(|r| < 1\) olduğu her durumda \(r^{n}\) sıfıra doğru küçülür ve geriye \(S = \frac{a}{1 - r}\) kalır. Eğer \(|r|\) 1'e eşit ya da büyükse, \(r^{n}\) kaybolmaz; bu nedenle sonlu bir limit oluşmaz ve seri ıraksar.
Çözümlü örnek
\(a = 1\) ve \(r = 1/2\) alalım. Terimler 1, 0,5, 0,25, 0,125, ... şeklindedir. \(|r| = 0{,}5 < 1\) olduğundan seri yakınsar. Formülü kullanarak: $$S = \frac{1}{1 - 0{,}5} = \frac{1}{0{,}5} = 2$$ Sonsuza giden toplam tam olarak 2'ye eşittir.
Sıkça sorulan sorular
r negatif olursa ne olur? Negatif bir oran, \(|r| < 1\) olduğu sürece yine geçerlidir; örneğin \(a = 3\), \(r = -0{,}5\) için \(S = \frac{3}{1{,}5} = 2\) sonucunu verir. Bu durumda terimlerin işareti dönüşümlü olarak değişir.
|r| neden 1'den küçük olmalı? Yalnızca bu durumda sonraki terimler, toplamın sabit bir sayıya yaklaşmasını sağlayacak kadar hızlı küçülür. \(|r| \ge 1\) olduğunda terimler küçülmez ve toplam sınırsız büyür.
İlk terimin mutlaka k = 0 terimi olması gerekir mi? Serinizin ilk terimi hangi değerse onu girin; formül bu değeri doğrudan \(a\) olarak kullanır.
