ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة مجموع المتسلسلة الهندسية حتى ما لا نهاية، والمكتوبة بصيغة المجموع (سيغما) على هيئة المجموع اللانهائي للحدود \(a\cdot r^{k}\) ابتداءً من \(k = 0\). والمتسلسلة الهندسية هي مجموع حدود يُضرَب كل حد منها في الحد السابق له بنسبة ثابتة تُسمى الأساس \(r\). وعندما تكون هذه النسبة صغيرة بدرجة كافية، تستقر المجاميع الجزئية عند قيمة منتهية واحدة رغم وجود عدد لا نهائي من الحدود.
طريقة الاستخدام
أدخل الحد الأول \(a\) (قيمة أول حد في المتسلسلة)، ثم الأساس \(r\) (العدد الذي يُضرَب فيه كل حد للحصول على الحد التالي)، ثم اضغط على زر الحساب. فإذا كانت القيمة المطلقة لـ \(r\) أصغر من 1، تُرجع الحاسبة المجموع المنتهي؛ وإلا فإنها تنبّهك إلى أن المتسلسلة متباعدة (لا تتقارب).
شرح القانون
الصيغة المغلقة هي $$S = \frac{a}{1 - r}$$ وهي مشتقة من قانون المجموع الجزئي $$S_n = \frac{a(1 - r^{n})}{1 - r}$$ فمع تزايد \(n\) بلا حدود، تؤول \(r^{n}\) إلى الصفر كلما كان \(|r| < 1\)، فيتبقى لنا \(S = \frac{a}{1 - r}\). أما إذا كانت \(|r|\) تساوي 1 أو أكبر منها، فإن \(r^{n}\) لا تتلاشى، ومن ثَمّ لا توجد نهاية منتهية وتكون المتسلسلة متباعدة.
مثال محلول
لنأخذ \(a = 1\) و \(r = 1/2\). عندئذٍ تكون الحدود: 1، 0.5، 0.25، 0.125، ... وبما أن \(|r| = 0.5 < 1\) فإن المتسلسلة متقاربة. وبتطبيق القانون: $$S = \frac{1}{1 - 0.5} = \frac{1}{0.5} = 2$$ أي أن المجموع اللانهائي يساوي 2 بالضبط.
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كانت \(r\) سالبة؟ يظل الأساس السالب صالحًا ما دامت \(|r| < 1\)؛ فمثلًا \(a = 3\) و \(r = -0.5\) يعطي \(S = \frac{3}{1.5} = 2\). وفي هذه الحالة تتبادل إشارات الحدود بين الموجب والسالب.
لماذا يجب أن تكون \(|r|\) أصغر من 1؟ لأن هذا هو الشرط الوحيد الذي تصغر معه الحدود التالية بالسرعة الكافية لكي يقترب المجموع من عدد ثابت. أما إذا كانت \(|r| \geq 1\) فإن الحدود لا تتناقص ويتزايد المجموع بلا حدود.
هل يجب أن يكون الحد الأول هو حد \(k = 0\)؟ أدخل القيمة التي تمثّل الحد الأول في متسلسلتك أيًّا كانت؛ فالقانون يستخدم هذه القيمة مباشرةً على أنها \(a\).
