이 계산기의 기능
이 도구는 등비급수의 무한합을 구합니다. 시그마 표기로는 k = 0부터 시작하는 \(a\cdot r^{k}\)의 무한합으로 나타냅니다. 등비급수는 각 항이 바로 앞 항에 일정한 공비 \(r\)을 곱한 값으로 이루어진 수열의 합입니다. 공비의 절댓값이 충분히 작으면 항이 무한히 많더라도 부분합이 하나의 유한한 값에 가까워집니다.
사용 방법
첫째항 \(a\)(급수에서 맨 처음 항의 값)와 공비 \(r\)(다음 항을 얻기 위해 각 항에 곱하는 수)을 입력한 뒤 계산 버튼을 누르세요. \(r\)의 절댓값이 1보다 작으면 유한한 합을 반환하고, 그렇지 않으면 급수가 발산한다는 경고를 표시합니다.
공식 이해하기
닫힌 형태의 공식은 다음과 같습니다.
$$S = \frac{a}{1 - r}$$이 식은 부분합 공식 $$S_n = \frac{a(1 - r^{n})}{1 - r}$$에서 유도됩니다. \(|r| < 1\)일 때 \(n\)이 한없이 커지면 \(r^{n}\)은 0에 수렴하므로 \(S = \frac{a}{1 - r}\)만 남습니다. 반대로 \(|r|\)이 1 이상이면 \(r^{n}\)이 0으로 줄어들지 않아 유한한 극한값이 존재하지 않고, 급수는 발산합니다.
예제 풀이
\(a = 1\), \(r = 1/2\)인 경우를 생각해 봅시다. 각 항은 1, 0.5, 0.25, 0.125, ... 가 됩니다. \(|r| = 0.5 < 1\)이므로 급수는 수렴합니다. 공식을 적용하면 다음과 같습니다.
$$S = \frac{1}{1 - 0.5} = \frac{1}{0.5} = 2$$즉, 끝없이 더해 나간 합은 정확히 2가 됩니다.
자주 묻는 질문
\(r\)이 음수이면 어떻게 되나요? 공비가 음수여도 \(|r| < 1\)이기만 하면 문제없이 계산됩니다. 예를 들어 \(a = 3\), \(r = -0.5\)이면 \(S = \frac{3}{1.5} = 2\)이고, 각 항의 부호가 번갈아 나타납니다.
왜 \(|r|\)이 1보다 작아야 하나요? 그래야만 뒤로 갈수록 항이 충분히 빠르게 작아져서 전체 합이 일정한 값에 가까워지기 때문입니다. \(|r| \geq 1\)이면 항이 줄어들지 않아 합이 무한정 커집니다.
첫째항이 반드시 k = 0 항이어야 하나요? 자신의 급수에서 첫 번째에 해당하는 항의 값을 그대로 입력하면 됩니다. 공식은 그 값을 \(a\)로 직접 사용합니다.
