समांतर श्रेणी (Arithmetic Sequence) क्या होती है?
समांतर श्रेणी संख्याओं की ऐसी सूची है जिसमें हर पद अपने पिछले पद से एक निश्चित मात्रा से अलग होता है। इस निश्चित मात्रा को सार्व अंतर (\(d\)) कहते हैं। पहले पद \(a_1\) से शुरू करते हुए श्रेणी इस तरह बनती है — \(a_1,\ a_1+d,\ a_1+2d\), और आगे इसी क्रम में। इन्हीं पदों का जोड़ समांतर श्रेणी का योग (Arithmetic Series) कहलाता है। यह कैलकुलेटर किसी भी समांतर श्रेणी का nवाँ पद और कुल योग, दोनों निकाल देता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
पहला पद (\(a_1\)), सार्व अंतर (\(d\)) और जितने पदों का हिसाब चाहिए वह संख्या (\(n\)) दर्ज करें। यह टूल आपको nवें पद (\(a_n\)) का मान और उन \(n\) पदों का कुल योग (\(S_n\)) बता देगा। सार्व अंतर धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य कुछ भी हो सकता है, और पहला पद कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है।
सूत्रों की पूरी समझ
nवाँ पद निकालने के लिए पहले पद में सार्व अंतर को (\(n-1\)) बार जोड़ा जाता है: $$a_n = a_1 + (n-1)d$$ योग के लिए गाउस (Gauss) की वही सुंदर युक्ति इस्तेमाल होती है — पहले और आख़िरी पद का जोड़ा बनाओ, फिर दूसरे और दूसरे-आख़िरी पद का, और इसी तरह आगे। हर जोड़े का योग \((a_1 + a_n)\) के बराबर होता है, और ऐसे कुल \(n/2\) जोड़े बनते हैं। इससे सूत्र मिलता है: $$S_n = \frac{n}{2}\,(a_1 + a_n)$$
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(a_1 = 3\), \(d = 5\) और \(n = 10\)। तब 10वाँ पद होगा $$a_{10} = 3 + (10-1)\cdot 5 = 3 + 45 = 48$$ और पहले 10 पदों का योग होगा $$S_{10} = \frac{10}{2}\cdot(3 + 48) = 5 \cdot 51 = 255$$ यानी श्रेणी \(3,\ 8,\ 13,\ \ldots,\ 48\) का कुल योग 255 है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
अगर सार्व अंतर 0 हो तो? तब हर पद \(a_1\) के बराबर ही रहेगा, इसलिए \(a_n = a_1\) होगा और योग बस \(n \times a_1\) हो जाएगा।
क्या पद ऋणात्मक या दशमलव हो सकते हैं? हाँ। \(a_1\) और \(d\) कोई भी वास्तविक संख्या हो सकते हैं; सूत्र फिर भी पूरी तरह सही रहते हैं।
श्रेणी (sequence) और योग-श्रेणी (series) में क्या फ़र्क है? Sequence पदों की क्रमबद्ध सूची होती है, जबकि series उन्हीं पदों का जोड़ होती है।
