स्पर्शज्या (टैंजेंट) अनुपात क्या है?
किसी समकोण त्रिभुज में किसी न्यून कोण θ की स्पर्शज्या (tangent) उस कोण के सामने वाली भुजा की लंबाई और उसके आसन्न (बगल वाली) भुजा की लंबाई का अनुपात होती है। सूत्र के रूप में इसे यूँ लिखा जाता है, \(\tan(\theta) = \frac{\text{सामने की भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}}\)। ज्या (sine) और कोज्या (cosine) के साथ स्पर्शज्या तीन मूल त्रिकोणमितीय अनुपातों में से एक है, और इसका इस्तेमाल ज्यामिति, भूमि-सर्वेक्षण, नौवहन, इंजीनियरिंग और भौतिकी में कोणों तथा दूरियों के बीच संबंध जोड़ने के लिए खूब किया जाता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
सामने की भुजा (कोण के ठीक सामने वाली भुजा) और आसन्न भुजा (कोण के बगल वाली भुजा, जो कर्ण नहीं है) की लंबाई दर्ज करें। कैलकुलेटर तुरंत स्पर्शज्या अनुपात और उससे संबंधित कोण θ डिग्री में बता देगा। लंबाई किसी भी इकाई में हो सकती है, बस दोनों एक ही इकाई में हों — क्योंकि यह अनुपात इकाई-रहित होता है।
सूत्र की व्याख्या
स्पर्शज्या असल में एक साधारण भाग ही है, $$\tan(\theta) = \frac{\text{सामने की भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}}$$ चूँकि यह शुद्ध अनुपात है, इसलिए दोनों भुजाओं को एक ही गुणक से बढ़ाने या घटाने पर इसका मान नहीं बदलता। कोण स्वयं निकालने के लिए प्रतिलोम स्पर्शज्या (इन्वर्स टैंजेंट) लें, $$\theta = \arctan\!\left(\frac{\text{सामने की भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}}\right)$$ जिसे यह टूल डिग्री में दिखाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए सामने की भुजा 3 है और आसन्न भुजा 4 है। तब $$\tan(\theta) = \frac{3}{4} = \mathbf{0.75}$$ इसका arctangent लेने पर $$\theta = \arctan(0.75) \approx \mathbf{36.87°}$$ मिलता है। यही प्रसिद्ध 3-4-5 वाला समकोण त्रिभुज है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
अगर आसन्न भुजा शून्य हो तो क्या होगा? तब स्पर्शज्या अपरिभाषित होती है (कोण 90° के करीब पहुँच जाता है); शून्य से भाग देने से बचने के लिए कैलकुलेटर अनुपात को 0 दिखा देता है, मगर इस स्थिति को अपरिभाषित ही मानें।
क्या इकाई से कोई फर्क पड़ता है? नहीं। स्पर्शज्या एक अनुपात है, इसलिए जब तक दोनों भुजाएँ एक ही इकाई में हों, यह इकाई-रहित रहता है।
क्या स्पर्शज्या ऋणात्मक हो सकती है? साधारण समकोण त्रिभुज में भुजाएँ धनात्मक होती हैं, इसलिए tan(θ) धनात्मक रहता है। ऋणात्मक मान केवल तब आते हैं जब चिह्न-युक्त (signed) निर्देशांकों का उपयोग किया जाए।
