ما هي نسبة الظل؟
في المثلث القائم الزاوية، يُعرَّف ظل الزاوية الحادة θ بأنه النسبة بين طول الضلع المقابل للزاوية وطول الضلع المجاور لها. وتُكتب القاعدة على الصورة: \(\tan(\theta) = \frac{\text{المقابل}}{\text{المجاور}}\). ويُعدّ الظل واحدًا من النسب المثلثية الأساسية الثلاث إلى جانب الجيب (sin) وجيب التمام (cos)، ويُستخدم على نطاق واسع في الهندسة والمساحة والملاحة والهندسة التطبيقية والفيزياء لربط الزوايا بالمسافات.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل طول الضلع المقابل (الضلع الذي يواجه الزاوية) وطول الضلع المجاور (الضلع المحاذي للزاوية، وليس الوتر). وتُظهر لك الحاسبة على الفور نسبة الظل والزاوية المقابلة θ مقدّرة بالدرجات. يمكن أن تكون الأطوال بأي وحدة قياس ما دامت موحّدة، لأن النسبة مجردة من الأبعاد.
شرح القاعدة
الظل ليس سوى عملية قسمة بسيطة: $$\tan(\theta) = \frac{\text{المقابل}}{\text{المجاور}}$$ وبما أنه نسبة خالصة، فإن مضاعفة الضلعين بالعامل نفسه لا تُغيّر قيمته. ولإيجاد قيمة الزاوية نفسها نستخدم الظل العكسي: $$\theta = \arctan\!\left(\frac{\text{المقابل}}{\text{المجاور}}\right)$$ وهو ما تُظهره هذه الأداة بالدرجات.
مثال محلول
لنفترض أن طول الضلع المقابل 3 وطول الضلع المجاور 4. عندئذٍ يكون $$\tan(\theta) = 3 \div 4 = 0.75$$ وبأخذ الظل العكسي نحصل على $$\theta = \arctan(0.75) \approx 36.87°$$ وهذا هو المثلث القائم الشهير ذو الأضلاع 3-4-5.
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان الضلع المجاور يساوي صفرًا؟ يصبح الظل غير معرَّف (إذ تقترب الزاوية من 90°)؛ وتُظهر الحاسبة النسبة على أنها 0 لتجنّب القسمة على صفر، لكن ينبغي اعتبار هذه الحالة غير معرَّفة.
هل تؤثر وحدة القياس في النتيجة؟ لا. الظل نسبة، ومن ثَمّ فهو خالٍ من الوحدات ما دام الضلعان يستخدمان الوحدة نفسها.
هل يمكن أن يكون الظل سالبًا؟ في المثلث القائم البسيط تكون أطوال الأضلاع موجبة، لذا يكون \(\tan(\theta)\) موجبًا. ولا تظهر القيم السالبة إلا عند استخدام إحداثيات ذات إشارة.
