동전 던지기 계산기란?
이 계산기는 동전을 n번 던졌을 때 앞면이 정확히 k번 나올 확률을 구해줍니다. 각 던지기는 서로 독립적인 사건이며, 한 번 던질 때 앞면이 나올 확률은 p입니다(공정한 동전이라면 0.5). p 값을 바꾸면 한쪽으로 치우친 편향 동전(가중 동전)도 그대로 모델링할 수 있습니다. 같은 원리로 연속 확률도 계산할 수 있는데, 예를 들어 앞면이 5번 연속으로 나올 확률은 \(n = 5\), \(k = 5\)인 경우와 같습니다.
사용 방법
총 던지는 횟수(\(n\)), 원하는 앞면 횟수(\(k\)), 그리고 한 번 던질 때 앞면이 나올 확률(\(p\), 공정한 동전이면 0.5)을 입력하세요. 계산기는 해당 결과의 확률을 백분율과 소수로 보여주고, 경우의 수 \(C(n,k)\), 기댓값(앞면의 평균 횟수), 그리고 그 정확한 결과가 나오지 않을 대비 확률(odds)까지 알려줍니다.
공식 풀이
이 결과는 이항분포를 따릅니다: $$P(X = k) = \binom{\text{n}}{\text{k}} \, \text{p}^{\,\text{k}} \left(1 - \text{p}\right)^{\text{n} - \text{k}}$$ 여기서 \(C(n,k)\)는 앞면이 정확히 k번 나오는 배열의 가짓수를 세는 항이고, \(p^{k}\)는 그 특정 던지기들이 앞면일 확률, \((1-p)^{n-k}\)는 나머지가 뒷면일 확률입니다. 공정한 동전(\(p = 0.5\))이라면 이 식은 \(C(n,k) \cdot 0.5^{n}\)으로 간단해집니다.
예제 풀이
공정한 동전을 10번 던져 앞면이 정확히 5번 나올 확률은 얼마일까요? \(C(10,5) = 252\)이고, \(0.5^{10} = 1/1024 \approx 0.0009766\)입니다. 따라서 \(P = 252 \times 0.0009766 \approx 0.2461\), 즉 약 24.61%입니다. 이는 개별 결과 중 가장 가능성이 높은 값이지만, 그래도 4분의 1이 채 안 됩니다.
자주 묻는 질문
앞면이 연속 2번 나올 확률은? \(n = 2\), \(k = 2\), \(p = 0.5\)로 설정하면 \(P = 0.25\), 즉 25% 또는 4분의 1입니다.
편향된 동전도 계산할 수 있나요? 네 — \(p\)를 실제 앞면 확률로 바꾸면 됩니다. 예를 들어 앞면 쪽으로 치우친 동전이라면 0.6처럼 입력하세요.
10번 중 앞면 5번이 왜 50% 확률이 아닌가요? 50%는 평균적으로 기대되는 값일 뿐입니다. "정확히 5번"은 나올 수 있는 여러 경우(0번부터 10번까지) 중 하나에 불과합니다. 가장 가능성이 높은 단일 값이긴 하지만, 실제로는 약 4분의 1 정도만 일어납니다.
