적분형 속도식 계산기란?
이 도구는 화학 반응 속도론의 적분형 속도식을 이용해, 일정 시간 t가 지난 뒤 남아 있는 반응물 농도 [A]와 반응의 반감기를 구해 줍니다. 가장 널리 쓰이는 세 가지 반응 차수, 즉 0차·1차·2차를 모두 지원하며, 단일 반응물 모델인 A → 생성물을 기준으로 계산합니다.
사용 방법
먼저 반응 차수를 선택한 다음, 초기 농도 \([\text{A}]_0\)(mol/L), 속도 상수 \(k\), 경과 시간 \(t\)(초)를 입력하세요. 계산기는 시간 \(t\)에서의 농도와 반감기를 알려 줍니다. 이때 \(k\)의 단위를 차수에 맞게 입력하는 것이 중요합니다. 0차는 \(\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}\cdot\text{s}^{-1}\), 1차는 \(\text{s}^{-1}\), 2차는 \(\text{L}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{s}^{-1}\)를 사용합니다.
공식 풀이
0차 반응: $$[\text{A}]_t = [\text{A}]_0 - k \cdot t \qquad t_{1/2} = \frac{[\text{A}]_0}{2\,k}$$ 농도는 0에 도달할 때까지 직선으로 감소합니다.
1차 반응: \(\ln[\text{A}] = \ln[\text{A}]_0 - k \cdot t\)이고, 이는 다음과 같습니다. $$[\text{A}]_t = [\text{A}]_0 \, e^{-k \cdot t} \qquad t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}$$ 반감기 \(t_{1/2} = \ln(2)/k\)는 일정하며 초기 농도와 무관합니다.
2차 반응: $$\frac{1}{[\text{A}]_t} = \frac{1}{[\text{A}]_0} + k \cdot t \qquad t_{1/2} = \frac{1}{k \cdot [\text{A}]_0}$$
계산 예시
어떤 1차 반응에서 \(k = 0.05 \ \text{s}^{-1}\), \([\text{A}]_0 = 1.0 \ \text{mol/L}\), \(t = 10 \ \text{s}\)라고 합시다. 그러면 다음과 같이 됩니다. $$[\text{A}] = 1.0 \times e^{-0.5} = 1.0 \times 0.60653 = 0.6065 \ \text{mol/L}$$ 반감기는 다음과 같습니다. $$\frac{\ln 2}{0.05} = \frac{0.6931}{0.05} = 13.86 \ \text{s}$$
자주 묻는 질문
1차 반응의 반감기는 왜 농도에 영향을 받지 않나요? 반응 속도가 \([\text{A}]\)에 정비례하기 때문에 단위 시간당 감소하는 비율이 일정하며, 그 결과 반감기도 항상 같은 값으로 고정됩니다.
농도가 음수가 될 수도 있나요? 0차 반응식만 \(t\)가 충분히 크면 수학적으로 음수가 나올 수 있습니다. 하지만 실제로는 반응물이 모두 소모된 상태이므로, 이 계산기는 농도를 0으로 처리합니다.
k의 단위는 무엇으로 해야 하나요? 차수에 따라 다릅니다. 1차는 \(\text{s}^{-1}\), 그 외에는 \(\text{mol}^{-1}\) 또는 L 기반 단위를 씁니다. \(k\), \([\text{A}]\), \(t\)의 단위를 항상 일관되게 맞추세요.
