길이 수축 계산기란?
이 계산기는 아인슈타인의 특수상대성이론을 적용해, 운동하는 물체의 길이가 정지한 관찰자에게 얼마나 짧게 측정되는지 계산해 줍니다. 이 현상을 '길이 수축'이라고 부르며, 물체의 속도가 빛의 속도(c = 299,792,458 m/s)에 가까워질 때에만 눈에 띄게 나타납니다. 물체의 실제 길이(고유 길이)와 속도를 입력하면, 수축된 길이와 함께 관련 수치들을 함께 알려 줍니다.
입력해야 할 값
- 고유 길이(L₀), 단위 미터 — 물체가 자신의 정지 좌표계에서 가지는 길이입니다. 즉, 물체가 여러분에 대해 정지해 있을 때 측정한 길이입니다.
- 속도(v), 단위 m/s — 물체가 움직이는 빠르기입니다. 반드시 빛의 속도(299,792,458 m/s)보다 작아야 하며, 그렇지 않으면 수식이 성립하지 않습니다.
공식 풀이
이 계산기는 표준적인 길이 수축 공식을 사용합니다.
L = L₀ √(1 − v²/c²)
내부적으로는 로런츠 인자 γ = 1 / √(1 − v²/c²)를 먼저 구한 뒤, 고유 길이를 이 값으로 나눕니다. 즉 L = L₀ / γ로, 위 공식과 수학적으로 완전히 동일합니다. √(1 − v²/c²) 값은 항상 0과 1 사이에 있으므로, 수축된 길이는 언제나 고유 길이보다 짧습니다. 또한 속도를 빛의 속도에 대한 백분율로, 그리고 수축 정도를 백분율로 함께 표시해 줍니다.
계산 예시
고유 길이가 100미터인 우주선이 150,000,000 m/s(대략 빛의 속도의 절반)로 비행한다고 가정해 봅시다.
- v/c = 150,000,000 / 299,792,458 ≈ 0.5003, 즉 속도는 빛의 속도의 약 50%입니다.
- √(1 − 0.5003²) ≈ √(0.7497) ≈ 0.8659
- 수축된 길이 L = 100 × 0.8659 ≈ 86.59미터
- 수축 비율 ≈ 13.4%
따라서 정지한 관찰자에게는 100미터짜리 우주선이 약 86.6미터로 측정됩니다.
자주 묻는 질문
물체가 실제로 짧아지는 건가요? 물리적으로 찌그러지는 것은 아닙니다. 길이 수축은 서로 다른 기준 좌표계에 있는 관찰자에게 나타나는 실제 측정 효과로, 상대성이론의 결과입니다. 물체 자신의 좌표계에서는 여전히 고유 길이를 그대로 유지합니다.
속도는 왜 빛의 속도보다 작아야 하나요? 속도가 정확히 c일 때는 제곱근 안의 값이 0이 되어 γ가 무한대가 됩니다. c를 넘어서면 음수가 되어 허수 결과가 나옵니다. 질량을 가진 물체는 빛의 속도에 도달하거나 이를 넘어설 수 없습니다.
일상적인 속도에서는 왜 수축이 거의 없나요? 시속 300 m/s로 나는 제트기조차 v/c 값이 너무 작아서 √(1 − v²/c²)가 사실상 1에 가깝습니다. 그래서 변화가 너무 미미해 알아챌 수 없습니다. 이 효과는 빛의 속도에 가까운 상대론적 속도에서만 의미를 가집니다.
