로런츠 길이 수축 계산기 (특수상대성이론) | L = L0 × √(1 − v²/c²)

계산 입력

결과

관측 길이 L

0.744943

미터 (m)

빛의 속도에 대한 속도 비율 (v/c)	66.712819 %
로런츠 인자 입력값 (beta = v/c)	0.667128
빛의 속도 c	299,792.458 km/s
공식	L = L0 × √(1 - v²/c²)

로런츠 길이 수축이란?

알베르트 아인슈타인의 특수상대성이론에 따르면, 관측자를 기준으로 빠르게 움직이는 물체는 운동 방향으로 짧아져 보입니다. 이 현상을 로런츠 수축(또는 로런츠-피츠제럴드 수축)이라고 하며, 특정 국가나 지역에 국한된 것이 아니라 어디에서나 성립하는 보편적인 물리 법칙입니다. 물체가 빠르게 움직일수록 더 짧게 보이며, 빛의 속도에 도달하면 길이가 0으로 줄어들게 됩니다.

정지 시 본래 길이이고 빠르게 움직일 때 짧아지는 막대 — 운동하는 물체의 길이는 운동 방향으로 줄어 보인다.

계산기 사용 방법

정지 길이 L0(물체가 정지해 있을 때 측정한 고유 길이)를 미터(m) 단위로 입력하고, 상대 속도 v를 초당 킬로미터(km/s) 단위로 입력하세요. 빛의 속도 c는 299792.458 km/s로 고정되어 있습니다. 계산기는 관측되는 길이 L과 함께 속도를 빛의 속도에 대한 비율($v/c$)로 나타내 줍니다. v가 c보다 큰 값을 입력하면, 빛보다 빠른 운동은 물리적으로 불가능하므로 계산기가 이를 거부합니다.

공식 풀이

수축된 길이는 다음과 같이 구합니다.

$$L = \text{L}_0 \sqrt{1 - \left(\dfrac{\text{v}}{c}\right)^2}$$

무차원 비율 $\beta = v/c$가 수축 정도를 결정합니다. v가 c에 비해 작으면 $\beta^2$이 매우 작아져 L은 L0와 거의 같아집니다. 우리가 일상적인 속도에서 수축을 전혀 느끼지 못하는 이유가 바로 여기에 있습니다. 반면 v가 c에 가까워질수록 제곱근 안의 값이 0에 수렴하면서 L은 급격하게 짧아집니다.

속도에 따른 길이에 대한 로런츠 인자 효과를 보여주는 곡선 — 수축은 저속에서는 미미하지만 v가 c에 가까워지면 급격히 줄어든다.

계산 예시

정지 길이 $\text{L}_0 = 6 \text{ m}$인 막대가 빛의 속도의 99%로 움직인다고 가정해 봅시다. 이때 $\beta = 0.99$입니다. $\beta^2 = 0.9801$이고, $1 - 0.9801 = 0.0199$입니다. 0.0199의 제곱근은 약 0.14107이므로, 다음과 같습니다.

$$L = 6 \times 0.14107 = 0.8464 \text{ m}$$

즉, 이 막대는 약 85 cm 길이로만 보이게 됩니다. 속도 비율은 99%입니다.