상대론적 속도 덧셈이란?
일상적인 (갈릴레이) 물리학에서는 속도를 그냥 더하면 됩니다. 시속 100km로 달리는 기차 안에서 시속 5km로 걸으면, 지면 기준 속도는 시속 105km가 되죠. 하지만 빛의 속도에 가까워지면 이 단순한 덧셈은 더 이상 성립하지 않습니다. 특수상대성이론은 단순 덧셈 대신 '속도 덧셈 공식'을 사용하는데, 이 공식은 광속보다 느린 속도들을 아무리 조합해도 결과가 절대 빛의 속도 \(c = 299792.458\) km/s를 넘지 못하도록 보장합니다. 이 계산기는 같은 직선상에 있는 두 속도를 합성해 실제 합성 속도를 구해 줍니다.
사용 방법
물체 A의 속도(v1)와 물체 B의 속도(v2)를 km/s 단위로 직접 입력하세요. 반대 방향을 나타내려면 음수 값을 넣어도 됩니다. 두 값 모두 \(|v| \le c\) 조건을 만족해야 합니다. 계산기는 합성 속도 v, 그 값이 광속의 몇 분의 일인지(v/c), 그리고 계산에 사용한 정확한 광속 상수를 함께 보여 줍니다.
공식 설명
같은 직선상에 있는 두 속도의 상대론적 합성은 다음과 같습니다.
$$u = \frac{\text{v}_1 + \text{v}_2}{1 + \dfrac{\text{v}_1 \cdot \text{v}_2}{c^{2}}}$$
분자는 평범한 합이고, 분모가 그 값을 끌어내립니다. v1과 v2가 c에 비해 아주 작을 때는 \(\text{v}_1 \cdot \text{v}_2 / c^{2}\) 항이 거의 0이 되어 공식은 단순 덧셈으로 돌아갑니다. 두 속도 중 하나가 c와 같으면 결과는 정확히 c가 됩니다. v1, v2, c가 모두 같은 단위를 쓰기 때문에 \(\text{v}_1 \cdot \text{v}_2 / c^{2}\) 항은 무차원이며, 따라서 전부 km/s로 계산해도 전혀 문제가 없습니다. SI 단위로 변환할 필요가 없습니다.
예제 풀이
\(\text{v}_1 = 250000\) km/s, \(\text{v}_2 = 280000\) km/s라고 합시다. 분자는 \(250000 + 280000 = 530000\). 곱은 \(250000 \times 280000 = 70{,}000{,}000{,}000\). \(c^{2} = 89{,}875{,}517{,}873.68\)을 쓰면 비율 \(\text{v}_1 \cdot \text{v}_2 / c^{2} = 0.778843\)이므로 분모는 \(1.778843\)이 됩니다. 따라서 $$v = \frac{530000}{1.778843} \approx 297{,}946.6 \text{ km/s}$$ — 요구되는 대로 여전히 c보다 작습니다.
자주 묻는 질문
그냥 \(c = 300000\) km/s로 쓰면 안 되나요? 정확한 값인 \(299792.458\) km/s가 중요합니다. \(\text{v}_1 = 270000\), \(\text{v}_2 = 180000\)인 예에서 정밀한 상수를 쓰면 \(\approx 292{,}065\) km/s가 나오지만, 반올림한 \(300000\)을 쓰면 \(\approx 292{,}207\) km/s가 나옵니다 — 약 140 km/s의 차이가 생기죠.
합성 속도가 c를 넘을 수 있나요? 아니요. \(|\text{v}_1| \le c\), \(|\text{v}_2| \le c\)를 만족하는 어떤 입력에 대해서도 공식은 \(|v| \le c\)를 유지합니다. 이것이 바로 상대론적 속도 덧셈의 핵심 특징입니다.
반대 방향에도 적용되나요? 네. 한쪽 속도를 음수로 입력하면 공식이 부호를 올바르게 처리하며, 물리적으로 유효한 범위 안에서 분모는 양수로 유지됩니다.
