相対性理論における速度の合成とは
日常的な（ガリレイ的な）物理では、速度は単純に足し算できます。たとえば時速100 kmで走る電車の中を時速5 kmで歩けば、地上から見た速さは時速105 kmです。ところが光速に近づくと、この単純な足し算は成り立たなくなります。特殊相対性理論では、単純な加算のかわりに「速度の合成公式」を用います。この公式により、光速未満の速度どうしをどのように組み合わせても、結果が光速 c＝299792.458 km/s を超えることは決してありません。本計算ツールは、同一直線上にある2つの速度を合成し、正しい合成速度を求めます。
使い方
物体Aの速度（v1）と物体Bの速度（v2）を、そのまま km/s 単位で入力してください。速度は逆向きを表すために負の値も指定できます。いずれも \(|v| \le c\) を満たす必要があります。計算結果として、合成速度 v、その光速に対する割合、そして計算に用いた光速の定数値を表示します。
公式の解説
同一直線上にある2つの速度を相対論的に合成する公式は次のとおりです。
$$u = \frac{\text{v}_1 + \text{v}_2}{1 + \dfrac{\text{v}_1 \cdot \text{v}_2}{c^{2}}}$$分子は通常どおりの和であり、分母がそれを抑える役割を果たします。v1 と v2 が c に比べてきわめて小さいとき、\(\text{v}_1 \cdot \text{v}_2 / c^2\) の項はほぼ 0 となり、公式は単純な足し算に帰着します。一方、どちらかの速度が c に等しいときは、結果はちょうど c になります。v1、v2、c はすべて同じ単位なので、\(\text{v}_1 \cdot \text{v}_2 / c^2\) の項は無次元量です。したがって、すべて km/s のまま計算してもまったく問題なく、SI単位への換算は不要です。
計算例
v1＝250000 km/s、v2＝280000 km/s とします。分子は \(250000 + 280000 = 530000\)。積は \(250000 \times 280000 = 70{,}000{,}000{,}000\)。\(c^2 = 89{,}875{,}517{,}873.68\) を用いると、\(\text{v}_1 \cdot \text{v}_2 / c^2 = 0.778843\) となり、分母は \(1.778843\) です。よって \(v = 530000 / 1.778843 \approx 297{,}946.6\) km/s となり、要求どおり c を下回ったままです。
よくある質問
なぜ c＝300000 km/s で計算しないのですか？ 正確な値 299792.458 km/s が重要だからです。たとえば v1＝270000、v2＝180000 の場合、正確な定数では約 292,065 km/s となりますが、概算の 300000 を用いると約 292,207 km/s となり、約 140 km/s の差が生じます。
合成速度が c を超えることはありますか？ ありません。\(|v_1| \le c\) かつ \(|v_2| \le c\) を満たすどんな入力に対しても、公式は \(|v| \le c\) を保ちます。これこそが相対論的な速度合成の本質的な特徴です。
逆向きの速度でも使えますか？ はい。一方の速度を負の値で入力してください。公式は符号を正しく扱い、物理的に意味のある範囲では分母は正のままになります。
