ما المقصود بجمع السرعات النسبية؟
في الفيزياء التقليدية (الجاليلية) نجمع السرعات ببساطة: فإذا مشيت بسرعة 5 كم/س داخل قطار ينطلق بسرعة 100 كم/س، فإن سرعتك بالنسبة للأرض تصبح 105 كم/س. لكن هذه القاعدة تنهار عند السرعات القريبة من سرعة الضوء. تستبدل النسبية الخاصة الجمع المباشر بصيغة جمع السرعات، التي تضمن أن أي تركيب لسرعات أقل من سرعة الضوء لا يمكن أبداً أن ينتج سرعة تتجاوز سرعة الضوء، \(c = 299792.458\) كم/ث. تجمع هذه الحاسبة سرعتين تقعان على خط واحد (متحاذيتين) وتُعيد السرعة الناتجة الحقيقية.
كيفية الاستخدام
أدخِل سرعة الجسم A (v1) وسرعة الجسم B (v2) مباشرةً بوحدة كم/ث. يمكن أن تكون السرعات سالبة للدلالة على الاتجاهات المتعاكسة. ويجب أن تحقّق كلتاهما الشرط \(|v| \le c\). تُعيد الحاسبة السرعة الناتجة v، وقيمتها كنسبة من سرعة الضوء، كما تعرض القيمة الدقيقة لثابت سرعة الضوء المستخدَم.
شرح الصيغة
تُعطى صيغة التركيب النسبي لسرعتين متحاذيتين بالشكل التالي:
$$u = \frac{\text{v}_1 + \text{v}_2}{1 + \dfrac{\text{v}_1 \cdot \text{v}_2}{c^{2}}}$$
يمثّل البسط مجموع السرعتين العادي، بينما يقوم المقام بتقليصه. فعندما تكون \(\text{v}_1\) و \(\text{v}_2\) صغيرتين جداً مقارنةً بسرعة الضوء c، يقترب الحد \(\text{v}_1 \cdot \text{v}_2 / c^{2}\) من الصفر وتتحول الصيغة إلى جمع عادي. أما حين تساوي إحدى السرعتين سرعة الضوء c، فتكون النتيجة هي c تماماً. وبما أن \(\text{v}_1\) و \(\text{v}_2\) و c تشترك جميعها في الوحدة نفسها، فإن الحد \(\text{v}_1 \cdot \text{v}_2 / c^{2}\) يكون عديم الأبعاد، ولذلك فإن الحساب كله بوحدة كم/ث صحيح تماماً — دون الحاجة إلى أي تحويل إلى وحدات النظام الدولي SI.
مثال محلول
لنفترض أن \(\text{v}_1 = 250000\) كم/ث و \(\text{v}_2 = 280000\) كم/ث. البسط: \(250000 + 280000 = 530000\). حاصل الضرب: \(250000 \times 280000 = 70{,}000{,}000{,}000\). وبأخذ \(c^{2} = 89{,}875{,}517{,}873.68\)، يكون النسبة \(\text{v}_1 \cdot \text{v}_2 / c^{2} = 0.778843\)، فيصبح المقام \(1.778843\). وبذلك تكون \(v = 530000 / 1.778843 \approx 297{,}946.6\) كم/ث — وهي ما تزال دون سرعة الضوء c، كما هو مطلوب.
الأسئلة الشائعة
لماذا لا نستخدم ببساطة \(c = 300000\) كم/ث؟ لأن القيمة الدقيقة 299792.458 كم/ث لها أهميتها. ففي المثال \(\text{v}_1 = 270000\)، \(\text{v}_2 = 180000\)، يعطي الثابت الدقيق نتيجة \(\approx 292{,}065\) كم/ث، بينما تعطي القيمة المقرّبة 300000 نتيجة \(\approx 292{,}207\) كم/ث — أي بفارق نحو 140 كم/ث.
هل يمكن أن تتجاوز السرعة الناتجة سرعة الضوء c؟ لا. فمع أي قيمتين تحقّقان \(|\text{v}_1| \le c\) و \(|\text{v}_2| \le c\)، تُبقي الصيغة دائماً \(|v| \le c\). وهذا هو الخاصية الجوهرية لجمع السرعات النسبية.
هل تعمل الصيغة مع الاتجاهات المتعاكسة؟ نعم. أدخِل إحدى السرعتين بقيمة سالبة؛ فالصيغة تتعامل مع الإشارات بشكل صحيح ويبقى المقام موجباً ضمن النطاق الفيزيائي.
