化簡根號計算機

輸入計算

根號下的數字 (n)

結果

Simplified form of √72

6√2

≈ 8.485281

係數 (a)	6
根數 (b)	2
小數近似值	8.485281

這個計算機能做什麼

化簡根號計算機可將平方根 \(\sqrt{n}\) 改寫成最簡根式 \(a\sqrt{b}\)。它會找出 \(n\) 當中最大的完全平方因數，讓留在根號內的數字盡可能變小。在代數、幾何與三角函數中，這是一項基本功；因為這些領域往往偏好保留精確的根式答案，而非僅用小數近似值來表示。

使用方法

在欄位中輸入任一正整數後送出即可。計算機會找出最大的整數 \(a\)，使得 \(a^2\) 能整除 \(n\)，接著回報係數 \(a\)、剩餘的根數 \(b\)、完整的最簡根式 \(a\sqrt{b}\)，以及小數近似值。若 \(n\) 本身就是完全平方數，結果會直接顯示為整數；若 \(n\) 沒有大於 1 的平方因數，則該根號已是最簡形式。

公式說明

我們將 \(\sqrt{n}\) 寫成 \(a\sqrt{b}\)，其中 \(a^2\) 是能整除 \(n\) 的最大完全平方數，而 \(b = n / a^2\)。

$$\sqrt{n} = a\sqrt{b} \qquad a^2 \cdot b = n$$

舉例來說，\(72 = 36 \times 2\)，且 \(36 = 6^2\) 是 72 最大的完全平方因數，所以 \(\sqrt{72} = 6\sqrt{2}\)。因數 6 被提出根號外，而 2 因為沒有任何完全平方因數而留在根號內。

將被開方數分解為完全平方數與剩餘因數之積，即可得到化簡形式 \(a\sqrt{b}\)。

範例演練

化簡 \(\sqrt{72}\)。先列出 72 的完全平方因數：1、4、9、36。其中最大的是 \(36 = 6^2\)，因此 \(a = 6\)，\(b = 72 / 36 = 2\)。所以 $$\sqrt{72} = 6\sqrt{2} \approx 8.485281$$

範例：\(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\)。

常見問題

如果我的數字本身就是完全平方數呢？此時 \(b = 1\)，答案就是整數 \(a\)；例如 \(\sqrt{49} = 7\)。

它能處理已經是最簡形式的數字嗎？可以。\(\sqrt{15}\) 除了 1 之外沒有其他平方因數，所以結果會是 \(1\sqrt{15}\)，並顯示為 \(\sqrt{15}\)。

像 \(\sqrt{48}\) 這種結果不是無平方因數的，也能處理嗎？可以：\(48 = 16 \times 3\)，所以 \(\sqrt{48} = 4\sqrt{3} \approx 6.928203\)。