Vòng tròn Mohr là gì?
Vòng tròn Mohr là một biểu diễn đồ họa hai chiều được sử dụng trong cơ học để hình dung trạng thái ứng suất tại một điểm trong vật liệu. Nó cho phép kỹ sư xác định ứng suất chính, ứng suất cắt tối đa và hướng của mặt phẳng chính từ trạng thái ứng suất đã biết. Công cụ mạnh mẽ này được phát triển bởi kỹ sư dân dụng người Đức Otto Mohr và được sử dụng rộng rãi trong kỹ thuật cơ khí, kỹ thuật dân dụng và khoa học vật liệu.
Khi nào sử dụng máy tính vòng tròn Mohr
Máy tính vòng tròn Mohr rất hữu ích trong các tình huống sau:
- Phân tích phân bố ứng suất trong các thành phần kết cấu dưới điều kiện tải phức tạp
- Xác định các điểm ứng suất quan trọng có thể dẫn đến hư hỏng vật liệu trong các bộ phận cơ khí
- Thiết kế các thành phần cần chịu được trạng thái ứng suất cụ thể theo nhiều hướng
$$\sigma_{1,2} = \sigma_{avg} \pm R, \qquad \tau_{max} = R, \qquad \theta_p = \tfrac{1}{2}\tan^{-1}\!\left(\frac{2\,\text{Tau XY}}{\text{Sigma X} - \text{Sigma Y}}\right)$$
$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} \sigma_{avg} &= \frac{\text{Sigma X} + \text{Sigma Y}}{2} \\ R &= \sqrt{\left(\frac{\text{Sigma X} - \text{Sigma Y}}{2}\right)^{2} + \text{Tau XY}^{2}} \end{aligned} \right.$$
Ví dụ
Ví dụ 1: Phân tích ứng suất trong dầm
Tính toán ứng suất chính và ứng suất cắt tối đa cho một điểm trong dầm với ứng suất thường \(\sigma_x = 80\) MPa, \(\sigma_y = 20\) MPa, và ứng suất cắt \(\tau_{xy} = 30\) MPa.
| Tham số | Giá trị |
|---|---|
| Ứng suất thường \(\sigma_x\) | 80 MPa |
| Ứng suất thường \(\sigma_y\) | 20 MPa |
| Ứng suất cắt \(\tau_{xy}\) | 30 MPa |
| Tâm vòng tròn Mohr (\(\sigma_{avg}\)) | 50 MPa |
| Bán kính vòng tròn Mohr (\(R\)) | 36,06 MPa |
| Ứng suất chính \(\sigma_1\) | 86,06 MPa |
| Ứng suất chính \(\sigma_2\) | 13,94 MPa |
| Ứng suất cắt tối đa \(\tau_{max}\) | 36,06 MPa |
| Góc đến mặt phẳng chính \(\theta_p\) | 22,5 độ |
Ví dụ 2: Phân tích ứng suất trong bình áp lực
Đối với một điểm trên bình áp lực với ứng suất thường \(\sigma_x = 120\) MPa, \(\sigma_y = 60\) MPa, và ứng suất cắt \(\tau_{xy} = 40\) MPa, xác định ứng suất chính và ứng suất cắt tối đa.
| Tham số | Giá trị |
|---|---|
| Ứng suất thường \(\sigma_x\) | 120 MPa |
| Ứng suất thường \(\sigma_y\) | 60 MPa |
| Ứng suất cắt \(\tau_{xy}\) | 40 MPa |
| Tâm vòng tròn Mohr (\(\sigma_{avg}\)) | 90 MPa |
| Bán kính vòng tròn Mohr (\(R\)) | 50 MPa |
| Ứng suất chính \(\sigma_1\) | 140 MPa |
| Ứng suất chính \(\sigma_2\) | 40 MPa |
| Ứng suất cắt tối đa \(\tau_{max}\) | 50 MPa |
| Góc đến mặt phẳng chính \(\theta_p\) | 26,57 độ |
Ví dụ 3: Phân tích ứng suất cắt thuần túy
Phân tích trạng thái ứng suất cắt thuần túy với \(\sigma_x = 0\) MPa, \(\sigma_y = 0\) MPa, và \(\tau_{xy} = 50\) MPa.
| Tham số | Giá trị |
|---|---|
| Ứng suất thường \(\sigma_x\) | 0 MPa |
| Ứng suất thường \(\sigma_y\) | 0 MPa |
| Ứng suất cắt \(\tau_{xy}\) | 50 MPa |
| Tâm vòng tròn Mohr (\(\sigma_{avg}\)) | 0 MPa |
| Bán kính vòng tròn Mohr (\(R\)) | 50 MPa |
| Ứng suất chính \(\sigma_1\) | 50 MPa |
| Ứng suất chính \(\sigma_2\) | -50 MPa |
| Ứng suất cắt tối đa \(\tau_{max}\) | 50 MPa |
| Góc đến mặt phẳng chính \(\theta_p\) | 45 độ |
Các trạng thái ứng suất phổ biến và đặc điểm vòng tròn Mohr
| Trạng thái ứng suất | Đặc điểm | Tính chất vòng tròn Mohr |
|---|---|---|
| Kéo đơn trục | \(\sigma_x > 0\), \(\sigma_y = 0\), \(\tau_{xy} = 0\) | Tâm tại \(\sigma_x/2\), Bán kính = \(\sigma_x/2\) |
| Cắt thuần túy | \(\sigma_x = 0\), \(\sigma_y = 0\), \(\tau_{xy} \neq 0\) | Tâm tại gốc tọa độ, Bán kính = \(\tau_{xy}\) |
| Kéo hai trục | \(\sigma_x > 0\), \(\sigma_y > 0\), \(\tau_{xy} = 0\) | Tâm tại \((\sigma_x+\sigma_y)/2\), Bán kính = \(|\sigma_x-\sigma_y|/2\) |
| Ứng suất thủy tĩnh | \(\sigma_x = \sigma_y\), \(\tau_{xy} = 0\) | Thu gọn thành một điểm (không có ứng suất cắt) |
| Ứng suất phức tạp | \(\sigma_x \neq \sigma_y\), \(\tau_{xy} \neq 0\) | Tâm tại \((\sigma_x+\sigma_y)/2\), Bán kính theo công thức |
Các máy tính liên quan
Đối với các công cụ phân tích ứng suất và kết cấu khác, bạn có thể tìm thấy những máy tính sau đây hữu ích:
- Máy tính định lý Pythagorean - Cho các tính toán hình học cơ bản
- Máy tính ma sát - Để phân tích lực trong hệ thống cơ khí
- Máy tính năng lượng tiềm năng - Để phân tích năng lượng trong kết cấu
