ما هما الحدّان الأعلى والأدنى؟
في الإحصاء الوصفي، يُمثّل الحدّان الأعلى والأدنى (المعروفان بالأسوار الإحصائية) قيمتين فاصلتين تُستخدمان لاكتشاف القيم الشاذة المحتملة داخل مجموعة من البيانات. فأي قيمة تقع أسفل الحد الأدنى أو أعلى الحد الأعلى تُعدّ قيمة شاذة. ويُبنى هذان الحدّان اعتماداً على أرباع البيانات والمدى الربيعي (IQR)، ما يجعلهما مقاومين لتأثير القيم المتطرفة.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل قيمة الربيع الأول (Q1) والربيع الثالث (Q3) لمجموعة بياناتك. أمّا المُعامل k فقيمته الافتراضية 1.5، وهي القيمة المعيارية التي اقترحها توكي لتحديد "القيم الشاذة". استخدم القيمة 3.0 إذا أردت رصد القيم "الشاذة بشدة" فقط. تعرض لك الحاسبة الحد الأدنى والحد الأعلى والمدى الربيعي IQR.
شرح المعادلة
احسب أولاً المدى الربيعي: $$\text{IQR} = \text{Q3} - \text{Q1}$$ ثم يُحسب الحدّان كالتالي:
$$\text{Lower} = \text{Q1} - \text{k}\cdot \text{IQR} \qquad \text{Upper} = \text{Q3} + \text{k}\cdot \text{IQR}$$ وباستخدام القيمة الكلاسيكية \(k = 1.5\)، فإن هذا يغطّي التشتّت المعتاد للنصف الأوسط من البيانات (50%) ممتدّاً للخارج بمقدار مدى ربيعي ونصف.
مثال محلول
لنفترض أن \(\text{Q1} = 25\) و\(\text{Q3} = 75\). إذن المدى الربيعي $$\text{IQR} = 75 - 25 = 50$$ وباستخدام \(k = 1.5\): $$\text{Lower} = 25 - 1.5 \times 50 = 25 - 75 = -50$$ $$\text{Upper} = 75 + 1.5 \times 50 = 75 + 75 = 150$$ وعليه، فإن أي قيمة تقل عن \(-50\) أو تزيد عن \(150\) تُعدّ قيمة شاذة.
الأسئلة الشائعة
لماذا 1.5 تحديداً؟ اقترح جون توكي قاعدة \(1.5\times\text{IQR}\) كحلٍّ عملي متوازن؛ فهي تكشف القيم الشاذة الحقيقية دون أن تكون مفرطة في الحساسية مع البيانات الموزّعة توزيعاً طبيعياً.
ماذا تعني القيمة \(k = 3\)؟ استخدام المُعامل 3 يرصد فقط القيم "البعيدة جداً" أو الشاذة بشدة، وهو مفيد عندما تتوقّع تبايناً طبيعياً كبيراً في بياناتك.
هل يمكن أن يكون الحد سالباً؟ نعم. الحد الأدنى السالب يعني ببساطة أنه لا توجد قيمة صغيرة واقعية سيتم اعتبارها شاذة من الجهة الدنيا، وهو أمر شائع مع البيانات التي تكون قيمها موجبة فقط.
