ما المقصود به؟
الانحراف المعياري لمتوسط العينة — والذي يُعرف على نطاق أوسع باسم الخطأ المعياري للمتوسط (SEM) — يقيس مقدار التباين المتوقع بين متوسط عينة عشوائية والمتوسط الحقيقي للمجتمع. فبينما يصف الانحراف المعياري للمجتمع \(\sigma\) مدى تشتت القيم الفردية للبيانات، يصف الخطأ المعياري مدى تشتت متوسطات العينات. وكلما زاد عدد المشاهدات التي تجمعها، تجمّعت متوسطات عيناتك بشكل أوثق حول المتوسط الحقيقي للمجتمع.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل الانحراف المعياري للمجتمع (\(\sigma\)) وحجم العينة (\(n\)). تقوم الحاسبة بقسمة \(\sigma\) على الجذر التربيعي لـ \(n\) لتعطيك الخطأ المعياري. استخدم النتيجة لبناء فترات الثقة، أو إجراء اختبارات الفرضيات، أو الحكم على مدى موثوقية متوسط مُقدّر.
شرح القانون
العلاقة الرياضية هي:
$$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
وبما أن \(n\) تقع تحت جذر تربيعي، فإن تقليل الخطأ المعياري إلى النصف يتطلب مضاعفة حجم العينة أربع مرات. وهذه الخاصية المعروفة بـ«تناقص العائد» تمثل ركيزة أساسية في تصميم الدراسات: إذ تصبح المكاسب الكبيرة في الدقة أكثر كلفة بشكل تدريجي.
مثال محلول
لنفترض أن لدينا مجتمعًا انحرافه المعياري \(\sigma = 10\)، وسحبت منه عينة حجمها \(n = 25\) مشاهدة. عندئذٍ يكون $$\sigma_{\bar{x}} = \frac{10}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = \mathbf{2}.$$ وبذلك ستتباين متوسطات العينات عادةً بنحو وحدتين حول المتوسط الحقيقي للمجتمع.
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين \(\sigma\) والخطأ المعياري؟ يصف \(\sigma\) تباين القيم الفردية، بينما يصف الخطأ المعياري تباين متوسط العينة، وهو دائمًا أصغر من \(\sigma\) (عندما يكون \(n\) أكبر من 1).
ماذا لو كان لديّ فقط الانحراف المعياري للعينة s؟ استخدم \(s\) بدلاً من \(\sigma\) للحصول على الخطأ المعياري المُقدّر، أي \(s/\sqrt{n}\). والقانون نفسه لا يتغير.
لماذا نقسم على \(\sqrt{n}\) وليس على \(n\)؟ لأن تباين متوسط العينة يساوي \(\sigma^2/n\)، وبأخذ الجذر التربيعي للعودة إلى وحدات الانحراف المعياري نحصل على \(\sigma/\sqrt{n}\).
