標本平均の標準偏差とは
標本平均の標準偏差は、一般に平均の標準誤差（SEM：Standard Error of the Mean）と呼ばれます。これは、無作為に抽出した標本の平均値が、真の母平均からどの程度ばらつくと見込まれるかを表す指標です。母標準偏差σが「個々のデータのばらつき」を表すのに対し、標準誤差は「標本平均そのもののばらつき」を表します。観測数を増やすほど、得られる標本平均は母平均の周りに集中していきます。
計算ツールの使い方
母標準偏差（σ）と標本サイズ（n）を入力するだけです。本ツールはσをnの平方根で割り、標準誤差を求めます。算出された値は、信頼区間の作成、仮説検定の実施、あるいは推定した平均値の信頼性を判断する際に役立ちます。
計算式の解説
両者の関係は次の式で表されます。
$$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\text{Population SD } (\sigma)}{\sqrt{\text{Sample size } (n)}}$$
nが平方根の中に入っているため、標準誤差を半分にするには標本サイズを4倍にしなければなりません。この「収穫逓減」の性質は調査・研究の設計において重要なポイントです。精度を大きく高めようとするほど、必要なコストは加速度的に大きくなっていきます。
計算例
ある母集団の標準偏差が\(\sigma = 10\) で、\(n = 25\) 個の観測値からなる標本を抽出したとします。このとき $$\sigma_{\bar{x}} = \frac{10}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2$$ となります。つまり、標本平均は真の母平均の周りでおおむね2単位ほどばらつくと考えられます。
よくある質問
σと標準誤差は何が違うのですか？ σは個々の値のばらつきを表すのに対し、標準誤差は標本平均のばらつきを表します。標準誤差は（\(n > 1\) の場合）常にσより小さくなります。
母標準偏差σが分からず、標本標準偏差sしかない場合は？ σの代わりにsを使えば、推定標準誤差 \(s / \sqrt{n}\) が得られます。式はまったく同じです。
なぜnではなく√nで割るのですか？ 標本平均の分散は\(\sigma^2/n\) になります。これを標準偏差の単位に戻すために平方根を取ると、\(\sigma/\sqrt{n}\) が得られるためです。
