Калькулятор стандартного отклонения выборочного среднего

Введите расчет

Стандартное отклонение совокупности (σ)

Объём выборки (n)

Результатов

Стандартное отклонение выборочного среднего (стандартная ошибка)

2

σx̄ = σ / √n

Стандартное отклонение совокупности (σ)	10
Объём выборки (n)	25

Что это такое

Стандартное отклонение выборочного среднего, которое чаще называют стандартной ошибкой среднего (СОС), показывает, насколько среднее значение случайной выборки может отклоняться от истинного среднего генеральной совокупности. Если стандартное отклонение совокупности \(\sigma\) характеризует разброс отдельных значений, то стандартная ошибка описывает разброс именно выборочных средних. Чем больше наблюдений вы соберёте, тем плотнее ваши выборочные средние группируются вокруг среднего по совокупности.

Выборочное распределение среднего уже, чем распределение совокупности, и сужается в \(1/\sqrt{n}\) раз.

Как пользоваться калькулятором

Введите стандартное отклонение генеральной совокупности (\(\sigma\)) и объём выборки (\(n\)). Калькулятор разделит \(\sigma\) на квадратный корень из \(n\) и выдаст стандартную ошибку. Полученное значение пригодится для построения доверительных интервалов, проверки статистических гипотез и оценки того, насколько надёжна найденная средняя величина.

Разбор формулы

Зависимость выглядит так:

$$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

Поскольку \(n\) стоит под знаком корня, чтобы уменьшить стандартную ошибку вдвое, объём выборки нужно увеличить в четыре раза. Это свойство «убывающей отдачи» лежит в основе планирования исследований: каждый следующий шаг к более высокой точности обходится всё дороже.

Реклама

С ростом объёма выборки \(n\) стандартная ошибка среднего уменьшается по закону \(1/\sqrt{n}\).

Пример расчёта

Допустим, стандартное отклонение совокупности \(\sigma = 10\), а вы берёте выборку из \(n = 25\) наблюдений. Тогда $$\sigma_{\bar{x}} = \frac{10}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2.$$ Значит, выборочные средние обычно отклоняются примерно на 2 единицы от истинного среднего совокупности.

Частые вопросы

Чем \(\sigma\) отличается от стандартной ошибки? \(\sigma\) описывает разброс отдельных значений, а стандартная ошибка — разброс выборочного среднего, и она всегда меньше (при \(n > 1\)).

А если у меня есть только выборочное стандартное отклонение \(s\)? Подставьте \(s\) вместо \(\sigma\) — получите оценку стандартной ошибки \(s / \sqrt{n}\). Формула остаётся той же.

Почему делим на \(\sqrt{n}\), а не на \(n\)? Дисперсия выборочного среднего равна \(\sigma^2/n\); чтобы вернуться к единицам стандартного отклонения, извлекают квадратный корень — получается \(\sigma/\sqrt{n}\).