Définition
L'écart type de la moyenne d'échantillon — plus couramment appelé erreur type de la moyenne (ETM) — mesure dans quelle proportion la moyenne d'un échantillon aléatoire est susceptible de s'écarter de la véritable moyenne de la population. Tandis que l'écart type de population \(\sigma\) décrit la dispersion des données individuelles, l'erreur type décrit, elle, la dispersion des moyennes d'échantillons. Plus vous recueillez d'observations, plus vos moyennes d'échantillon se resserrent autour de la moyenne de la population.
Comment utiliser le calculateur
Saisissez l'écart type de la population (\(\sigma\)) et la taille de l'échantillon (\(n\)). Le calculateur divise \(\sigma\) par la racine carrée de \(n\) pour vous renvoyer l'erreur type. Servez-vous du résultat pour construire des intervalles de confiance, mener des tests d'hypothèses ou évaluer la fiabilité d'une moyenne estimée.
La formule expliquée
La relation s'écrit ainsi :
$$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\text{Population SD } (\sigma)}{\sqrt{\text{Sample size } (n)}}$$
Comme \(n\) se trouve sous une racine carrée, diviser l'erreur type par deux exige de quadrupler la taille de l'échantillon. Cette loi des « rendements décroissants » est essentielle dans la conception d'une étude : les gains importants de précision deviennent progressivement de plus en plus coûteux.
Exemple concret
Supposons qu'une population présente un écart type \(\sigma = 10\) et que vous prélevez un échantillon de \(n = 25\) observations. On obtient alors $$\sigma_{\bar{x}} = \frac{10}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2.$$ Les moyennes d'échantillon s'écarteront donc en général d'environ 2 unités autour de la véritable moyenne de la population.
Foire aux questions
Quelle est la différence entre \(\sigma\) et l'erreur type ? \(\sigma\) décrit la variabilité des valeurs individuelles ; l'erreur type décrit la variabilité de la moyenne d'échantillon, et elle est toujours plus petite (dès que \(n > 1\)).
Et si je ne dispose que de l'écart type d'échantillon \(s\) ? Utilisez \(s\) à la place de \(\sigma\) pour obtenir l'erreur type estimée, soit \(s / \sqrt{n}\). La formule reste identique.
Pourquoi diviser par \(\sqrt{n}\) et non par \(n\) ? La variance de la moyenne d'échantillon vaut \(\sigma^2/n\) ; en prenant la racine carrée pour revenir aux unités d'un écart type, on obtient \(\sigma/\sqrt{n}\).
