Ce que fait ce calculateur
Cet outil modélise un objet lâché sans vitesse initiale, soumis à la pesanteur et à une résistance de l'air quadratique (proportionnelle au carré de la vitesse). À partir de la durée de chute, il indique la distance parcourue et la vitesse atteinte, exprimée à la fois en m/s et en km/h. Le modèle repose sur des lois physiques universelles et s'applique partout.
Comment l'utiliser
Saisissez la masse de l'objet (en kilogrammes ou en grammes), la durée de chute en secondes, le coefficient de résistance de l'air k en kg/m, ainsi que l'accélération de la pesanteur g (par défaut la gravité standard, soit 9,80665 m/s²). Cliquez sur « Calculer » pour obtenir la distance de chute et la vitesse.
La formule expliquée
L'équation du mouvement s'écrit \(m\cdot dv/dt = m\cdot g - k\cdot v^2\). En partant du repos, elle admet la solution analytique suivante :
$$v(t) = \sqrt{\frac{m\,g}{k}}\,\tanh\!\left(t\sqrt{\frac{g\,k}{m}}\right), \qquad h(t) = \frac{m}{k}\,\ln\!\cosh\!\left(t\sqrt{\frac{g\,k}{m}}\right)$$La vitesse limite vaut \(v_{\text{limite}} = \sqrt{\frac{m\,g}{k}}\) : c'est la vitesse maximale dont l'objet se rapproche. Le taux caractéristique est \(a = \sqrt{\frac{g\,k}{m}}\). Lorsque \(a\cdot t\) devient grand, la vitesse plafonne à la vitesse limite. Si \(k = 0\), le modèle se ramène à la chute libre sans frottement : \(v = g\cdot t\), \(h = 0{,}5\cdot g\cdot t^2\).
Exemple résolu
Pour \(m = 72\ \text{kg}\), \(t = 40\ \text{s}\), \(k = 0{,}24\ \text{kg/m}\) et \(g = 9{,}80665\ \text{m/s}^2\) :
$$v_{\text{limite}} = \sqrt{\frac{72\cdot 9{,}80665}{0{,}24}} = 54{,}23\ \text{m/s}, \qquad a = \sqrt{\frac{9{,}80665\cdot 0{,}24}{72}} = 0{,}1808\ \text{/s}, \qquad a\cdot t = 7{,}232$$On obtient alors $$v = 54{,}23\cdot\tanh(7{,}232) = 54{,}24\ \text{m/s} = 195{,}26\ \text{km/h},$$ et $$h = \frac{72}{0{,}24}\cdot\ln(\cosh(7{,}232)) = 300\cdot 6{,}539 = 1961{,}7\ \text{m}.$$ L'objet a pratiquement atteint sa vitesse limite.
FAQ
Qu'est-ce que le coefficient k ? Il s'agit d'un coefficient de traînée global, exprimé en kg/m, de sorte que \(k\cdot v^2\) donne une force en newtons. Il regroupe la masse volumique de l'air, le coefficient de traînée et la surface frontale.
Pourquoi la vitesse cesse-t-elle d'augmenter ? La traînée croît comme \(v^2\) ; dès qu'elle équilibre le poids, la force résultante est nulle et l'objet tombe à vitesse limite constante.
Puis-je mettre k à zéro ? Oui : le calculateur utilise alors les formules classiques sans frottement, \(v = g\cdot t\) et \(h = 0{,}5\cdot g\cdot t^2\).
