Что считает этот калькулятор
Инструмент моделирует тело, которое падает из состояния покоя под действием силы тяжести и при этом испытывает квадратичное сопротивление воздуха (пропорциональное квадрату скорости). По заданному времени падения он показывает, какой путь прошло тело и с какой скоростью оно движется — в м/с и км/ч. Модель основана на универсальных законах физики и работает где угодно.
Как пользоваться
Введите массу тела (в килограммах или граммах), время падения в секундах, обобщённый коэффициент сопротивления воздуха \(k\) в кг/м и ускорение свободного падения \(g\) (по умолчанию стандартное значение 9,80665 м/с²). Нажмите «Рассчитать», чтобы получить путь и скорость падения.
Разбор формулы
Уравнение движения имеет вид \(m \cdot \frac{dv}{dt} = m \cdot g - k \cdot v^2\). При старте из состояния покоя оно имеет точное решение:
$$v(t) = \sqrt{\frac{m\,g}{k}}\,\tanh\!\left(\sqrt{\frac{g\,k}{m}}\cdot t\right) \qquad h(t) = \frac{m}{k}\,\ln\!\cosh\!\left(\sqrt{\frac{g\,k}{m}}\cdot t\right)$$Предельная (установившаяся) скорость равна \(v_{\text{пред}} = \sqrt{\frac{m\,g}{k}}\) — это максимальная скорость, к которой стремится тело. Характерная частота — \(a = \sqrt{\frac{g\,k}{m}}\). При больших значениях \(a \cdot t\) скорость выходит на предельную. Если \(k = 0\), модель сводится к свободному падению без сопротивления: \(v = g \cdot t\), \(h = 0{,}5 \cdot g \cdot t^2\).
Пример расчёта
Для \(m = 72\) кг, \(t = 40\) с, \(k = 0{,}24\) кг/м, \(g = 9{,}80665\) м/с²:
$$v_{\text{пред}} = \sqrt{\frac{72 \cdot 9{,}80665}{0{,}24}} = 54{,}23 \text{ м/с}$$$$a = \sqrt{\frac{9{,}80665 \cdot 0{,}24}{72}} = 0{,}1808 \text{ 1/с}, \qquad a \cdot t = 7{,}232$$Тогда
$$v = 54{,}23 \cdot \tanh(7{,}232) = 54{,}24 \text{ м/с} = 195{,}26 \text{ км/ч}$$$$h = \frac{72}{0{,}24} \cdot \ln\!\cosh(7{,}232) = 300 \cdot 6{,}539 = 1961{,}7 \text{ м}$$Тело фактически уже достигло предельной скорости.
Частые вопросы
Что такое коэффициент \(k\)? Это обобщённый коэффициент сопротивления с размерностью кг/м, при которой произведение \(k \cdot v^2\) даёт силу в ньютонах. В нём «свёрнуты» плотность воздуха, коэффициент аэродинамического сопротивления и площадь поперечного сечения.
Почему скорость перестаёт расти? Сила сопротивления растёт пропорционально \(v^2\); как только она уравновешивает вес, суммарная сила становится равной нулю, и тело падает с постоянной предельной скоростью.
Можно ли задать \(k = 0\)? Да — в этом случае калькулятор возвращается к классическим формулам падения без сопротивления: \(v = g \cdot t\) и \(h = 0{,}5 \cdot g \cdot t^2\).
