공기저항 자유낙하 계산기 (시간 기준)

계산 입력

질량 m

질량 단위 kg g

낙하 시간 t (초, s)

공기저항 계수 k (kg/m)

Gravitational acceleration g (m/s²)

결과

낙하거리 h

1,961.66

미터 (m)

낙하 속도 v	54.24 m/s
낙하 속도 v	195.26 km/h

이 계산기의 기능

이 도구는 정지 상태에서 중력으로 떨어지는 물체가 2차(속도 제곱에 비례하는) 공기저항을 받는 상황을 모델링합니다. 낙하 경과 시간을 입력하면 물체가 얼마나 멀리 떨어졌는지, 그리고 얼마나 빠르게 움직이는지를 m/s와 km/h 단위로 함께 알려줍니다. 이 모델은 보편적인 물리 법칙에 기반하므로 어디서나 동일하게 적용됩니다.

정지 상태에서 떨어지는 물체는 아래로 중력을, 위로 속도 제곱에 비례하는 공기 저항을 받는다.

사용 방법

물체의 질량(킬로그램 또는 그램), 낙하 시간(초), 통합 공기저항 계수 \(k\)(kg/m), 그리고 중력가속도 \(g\)(기본값은 표준 중력 9.80665 m/s²)를 입력하세요. 계산 버튼을 누르면 낙하거리와 속도를 확인할 수 있습니다.

공식 설명

운동 방정식은 $$m\cdot\frac{dv}{dt} = m\cdot g - k\cdot v^2$$입니다. 정지 상태에서 출발하면 다음과 같은 해석해(닫힌 형태의 해)를 얻을 수 있습니다.

$$v(t) = \sqrt{\frac{m\cdot g}{k}}\,\tanh\!\left(\sqrt{\frac{g\cdot k}{m}}\cdot t\right), \qquad h(t) = \frac{m}{k}\,\ln\!\cosh\!\left(\sqrt{\frac{g\cdot k}{m}}\cdot t\right).$$

종단속도는 \(v_{\text{terminal}} = \sqrt{\frac{m\cdot g}{k}}\)로, 물체가 점차 접근하는 최대 속도입니다. 특성 비율(rate)은 \(a = \sqrt{\frac{g\cdot k}{m}}\)이며, \(a\cdot t\)가 충분히 커지면 속도는 종단속도에서 포화됩니다. 만약 \(k = 0\)이면 이 모델은 공기저항이 없는 자유낙하로 단순해져 \(v = g\cdot t\), \(h = 0.5\cdot g\cdot t^2\)가 됩니다.

속도는 증가하다가 종단 속도에서 일정해지고, 거리는 계속 늘어난다.

계산 예시

\(m = 72\ \text{kg}\), \(t = 40\ \text{s}\), \(k = 0.24\ \text{kg/m}\), \(g = 9.80665\ \text{m/s}^2\)인 경우를 살펴봅시다. $$v_{\text{terminal}} = \sqrt{\frac{72\cdot 9.80665}{0.24}} = 54.23\ \text{m/s},$$ $$a = \sqrt{\frac{9.80665\cdot 0.24}{72}} = 0.1808/\text{s}, \qquad a\cdot t = 7.232.$$ 따라서 $$v = 54.23\cdot\tanh(7.232) = 54.24\ \text{m/s} = 195.26\ \text{km/h},$$ $$h = \frac{72}{0.24}\cdot\ln\!\cosh(7.232) = 300\cdot 6.539 = 1961.7\ \text{m}$$가 됩니다. 이 시점에서 물체는 사실상 종단속도에 도달한 상태입니다.

자주 묻는 질문

계수 \(k\)란 무엇인가요? kg/m 단위를 가지는 통합 항력 계수로, \(k\cdot v^2\)가 뉴턴(N) 단위의 힘이 되도록 설계되어 있습니다. 공기 밀도, 항력 계수, 단면적을 하나로 묶은 값입니다.

속도가 더 이상 증가하지 않는 이유는 무엇인가요? 항력은 \(v^2\)에 비례해 커집니다. 항력이 무게와 균형을 이루는 순간 알짜힘이 0이 되어, 물체는 일정한 종단속도로 떨어지게 됩니다.

\(k\)를 0으로 설정할 수 있나요? 네, 가능합니다. 이 경우 계산기는 공기저항이 없는 고전적인 공식 \(v = g\cdot t\)와 \(h = 0.5\cdot g\cdot t^2\)로 돌아갑니다.