이 계산기의 기능
이 도구는 정지 상태에서 중력으로 떨어지는 물체가 2차(속도 제곱에 비례하는) 공기저항을 받는 상황을 모델링합니다. 낙하 경과 시간을 입력하면 물체가 얼마나 멀리 떨어졌는지, 그리고 얼마나 빠르게 움직이는지를 m/s와 km/h 단위로 함께 알려줍니다. 이 모델은 보편적인 물리 법칙에 기반하므로 어디서나 동일하게 적용됩니다.
사용 방법
물체의 질량(킬로그램 또는 그램), 낙하 시간(초), 통합 공기저항 계수 \(k\)(kg/m), 그리고 중력가속도 \(g\)(기본값은 표준 중력 9.80665 m/s²)를 입력하세요. 계산 버튼을 누르면 낙하거리와 속도를 확인할 수 있습니다.
공식 설명
운동 방정식은 $$m\cdot\frac{dv}{dt} = m\cdot g - k\cdot v^2$$입니다. 정지 상태에서 출발하면 다음과 같은 해석해(닫힌 형태의 해)를 얻을 수 있습니다.
$$v(t) = \sqrt{\frac{m\cdot g}{k}}\,\tanh\!\left(\sqrt{\frac{g\cdot k}{m}}\cdot t\right), \qquad h(t) = \frac{m}{k}\,\ln\!\cosh\!\left(\sqrt{\frac{g\cdot k}{m}}\cdot t\right).$$
종단속도는 \(v_{\text{terminal}} = \sqrt{\frac{m\cdot g}{k}}\)로, 물체가 점차 접근하는 최대 속도입니다. 특성 비율(rate)은 \(a = \sqrt{\frac{g\cdot k}{m}}\)이며, \(a\cdot t\)가 충분히 커지면 속도는 종단속도에서 포화됩니다. 만약 \(k = 0\)이면 이 모델은 공기저항이 없는 자유낙하로 단순해져 \(v = g\cdot t\), \(h = 0.5\cdot g\cdot t^2\)가 됩니다.
계산 예시
\(m = 72\ \text{kg}\), \(t = 40\ \text{s}\), \(k = 0.24\ \text{kg/m}\), \(g = 9.80665\ \text{m/s}^2\)인 경우를 살펴봅시다. $$v_{\text{terminal}} = \sqrt{\frac{72\cdot 9.80665}{0.24}} = 54.23\ \text{m/s},$$ $$a = \sqrt{\frac{9.80665\cdot 0.24}{72}} = 0.1808/\text{s}, \qquad a\cdot t = 7.232.$$ 따라서 $$v = 54.23\cdot\tanh(7.232) = 54.24\ \text{m/s} = 195.26\ \text{km/h},$$ $$h = \frac{72}{0.24}\cdot\ln\!\cosh(7.232) = 300\cdot 6.539 = 1961.7\ \text{m}$$가 됩니다. 이 시점에서 물체는 사실상 종단속도에 도달한 상태입니다.
자주 묻는 질문
계수 \(k\)란 무엇인가요? kg/m 단위를 가지는 통합 항력 계수로, \(k\cdot v^2\)가 뉴턴(N) 단위의 힘이 되도록 설계되어 있습니다. 공기 밀도, 항력 계수, 단면적을 하나로 묶은 값입니다.
속도가 더 이상 증가하지 않는 이유는 무엇인가요? 항력은 \(v^2\)에 비례해 커집니다. 항력이 무게와 균형을 이루는 순간 알짜힘이 0이 되어, 물체는 일정한 종단속도로 떨어지게 됩니다.
\(k\)를 0으로 설정할 수 있나요? 네, 가능합니다. 이 경우 계산기는 공기저항이 없는 고전적인 공식 \(v = g\cdot t\)와 \(h = 0.5\cdot g\cdot t^2\)로 돌아갑니다.
