ماذا تفعل هذه الحاسبة
تُحاكي هذه الأداة جسمًا يسقط من حالة السكون تحت تأثير الجاذبية مع تعرّضه لمقاومة هواء تربيعية (متناسبة مع مربّع السرعة). انطلاقًا من زمن السقوط المنقضي، تُعطيك المسافة التي قطعها الجسم وسرعته، مُعبَّرًا عنها بالمتر/ثانية وبالكيلومتر/ساعة معًا. هذا النموذج يقوم على قوانين فيزيائية عامة وينطبق في أي مكان.
طريقة الاستخدام
أدخل كتلة الجسم (بالكيلوغرام أو الغرام)، وزمن السقوط بالثواني، ومعامل مقاومة الهواء المُجمَّع \(k\) بوحدة kg/m، وتسارع الجاذبية \(g\) (والقيمة الافتراضية هي تسارع الجاذبية القياسي 9.80665 م/ث²). ثم اضغط على «احسب» للحصول على مسافة السقوط والسرعة.
شرح المعادلة
معادلة الحركة هي \(m\cdot dv/dt = m\cdot g - k\cdot v^2\). انطلاقًا من السكون، يكون لها حلٌّ مغلق على الصورة:
$$v(t) = \sqrt{\frac{m\,g}{k}}\,\tanh\!\left(\sqrt{\frac{g\,k}{m}}\cdot t\right) \qquad h(t) = \frac{m}{k}\,\ln\!\cosh\!\left(\sqrt{\frac{g\,k}{m}}\cdot t\right)$$
السرعة الحدّية هي \(v_{\text{terminal}} = \sqrt{\frac{m\,g}{k}}\)، وهي أقصى سرعة يقترب منها الجسم. أما المعدّل المميِّز فهو \(a = \sqrt{\frac{g\,k}{m}}\). وعند القيم الكبيرة لِـ \(a\cdot t\) تستقرّ السرعة عند قيمتها الحدّية. وإذا كان \(k = 0\) يتبسّط النموذج إلى سقوط حر بلا مقاومة: \(v = g\cdot t\) و \(h = 0.5\cdot g\cdot t^2\).
مثال محلول
لِـ \(m = 72\) كغ، و \(t = 40\) ث، و \(k = 0.24\) kg/m، و \(g = 9.80665\) م/ث²: السرعة الحدّية $$v_{\text{terminal}} = \sqrt{\frac{72\cdot 9.80665}{0.24}} = 54.23 \text{ م/ث}$$ و $$a = \sqrt{\frac{9.80665\cdot 0.24}{72}} = 0.1808/\text{ث}$$ و \(a\cdot t = 7.232\). ومن ثمّ $$v = 54.23\cdot\tanh(7.232) = 54.24 \text{ م/ث} = 195.26 \text{ كم/س}$$ و $$h = \frac{72}{0.24}\cdot\ln\!\cosh(7.232) = 300\cdot 6.539 = 1961.7 \text{ م}$$ وبذلك يكون الجسم قد بلغ سرعته الحدّية عمليًّا.
الأسئلة الشائعة
ما هو المعامل \(k\)؟ هو معامل سحب مُجمَّع وحدته kg/m، بحيث يُعطي الحدّ \(k\cdot v^2\) قوة بوحدة النيوتن. وهو يجمع في قيمة واحدة كلًّا من كثافة الهواء، ومعامل السحب، ومساحة المقطع العرضي.
لماذا تتوقّف السرعة عن الازدياد؟ لأن قوة السحب تتزايد مع \(v^2\)؛ وعندما توازن قوة السحب الوزن يصبح صافي القوة صفرًا فيسقط الجسم بسرعة حدّية ثابتة.
هل يمكنني ضبط \(k\) على صفر؟ نعم — في هذه الحالة ترجع الحاسبة إلى الصيغ الكلاسيكية للسقوط الحر بلا مقاومة: \(v = g\cdot t\) و \(h = 0.5\cdot g\cdot t^2\).
