Công cụ này làm gì
Công cụ mô phỏng chuyển động của một vật rơi từ trạng thái nghỉ dưới tác dụng của trọng lực, đồng thời chịu lực cản không khí bậc hai (tỉ lệ với bình phương vận tốc). Khi bạn nhập thời gian rơi, công cụ sẽ cho biết vật đã rơi được bao xa và đang chuyển động nhanh đến mức nào, tính theo cả m/s lẫn km/h. Đây là mô hình vật lý phổ quát, áp dụng được ở mọi nơi.
Cách sử dụng
Nhập khối lượng của vật (kilôgam hoặc gam), thời gian rơi tính bằng giây, hệ số cản không khí gộp k tính bằng kg/m, và gia tốc trọng trường g (mặc định là gia tốc chuẩn 9,80665 m/s²). Nhấn nút tính để nhận quãng đường và vận tốc rơi.
Giải thích công thức
Phương trình chuyển động có dạng \(m\cdot \frac{dv}{dt} = m\cdot g - k\cdot v^{2}\). Khi vật xuất phát từ trạng thái nghỉ, phương trình này có nghiệm dạng đóng:
$$v(t) = \sqrt{\frac{m\cdot g}{k}}\,\tanh\!\left(\sqrt{\frac{g\cdot k}{m}}\cdot t\right) \qquad h(t) = \frac{m}{k}\,\ln\!\cosh\!\left(\sqrt{\frac{g\cdot k}{m}}\cdot t\right)$$
Vận tốc giới hạn (vận tốc tới hạn) là \(v_{\text{terminal}} = \sqrt{\frac{m\cdot g}{k}}\) — đây là tốc độ tối đa mà vật tiến gần tới. Tốc độ đặc trưng là \(a = \sqrt{\frac{g\cdot k}{m}}\). Khi \(a\cdot t\) lớn, vận tốc bão hòa ở mức vận tốc giới hạn. Nếu \(k = 0\), mô hình trở về trường hợp rơi tự do không có lực cản: \(v = g\cdot t\), \(h = 0{,}5\cdot g\cdot t^{2}\).
Ví dụ minh họa
Với \(m = 72\ \text{kg}\), \(t = 40\ \text{s}\), \(k = 0{,}24\ \text{kg/m}\), \(g = 9{,}80665\ \text{m/s}^2\): $$v_{\text{terminal}} = \sqrt{\frac{72\cdot 9{,}80665}{0{,}24}} = 54{,}23\ \text{m/s}$$ $$a = \sqrt{\frac{9{,}80665\cdot 0{,}24}{72}} = 0{,}1808/\text{s}, \qquad a\cdot t = 7{,}232$$ Khi đó \(v = 54{,}23\cdot\tanh(7{,}232) = 54{,}24\ \text{m/s} = 195{,}26\ \text{km/h}\), và $$h = \frac{72}{0{,}24}\cdot\ln\!\cosh(7{,}232) = 300\cdot 6{,}539 = 1961{,}7\ \text{m}$$ Lúc này vật đã gần như đạt tới vận tốc giới hạn.
Câu hỏi thường gặp
Hệ số k là gì? Đó là hệ số cản gộp, có đơn vị kg/m, sao cho \(k\cdot v^{2}\) cho ra một lực tính bằng newton. Hệ số này gói gọn cả mật độ không khí, hệ số cản khí động học và diện tích mặt cắt ngang của vật.
Vì sao vận tốc ngừng tăng? Lực cản tăng theo \(v^{2}\); khi lực cản cân bằng với trọng lượng, hợp lực bằng không và vật rơi với vận tốc giới hạn không đổi.
Tôi có thể đặt k = 0 không? Được — khi đó công cụ sẽ quay về các công thức rơi tự do cổ điển không có lực cản: \(v = g\cdot t\) và \(h = 0{,}5\cdot g\cdot t^{2}\).
