यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल ऐसी वस्तु की गति को दर्शाता है जो विरामावस्था (शून्य प्रारंभिक वेग) से गुरुत्वाकर्षण के अंतर्गत गिरती है और साथ ही द्विघात (वेग के वर्ग के समानुपाती) वायु प्रतिरोध का सामना करती है। जब आप गिरने का बीता हुआ समय देते हैं, तो यह बताता है कि वस्तु कितनी दूर गिरी है और उसकी गति कितनी है — दोनों m/s और km/h में। यह मॉडल भौतिकी का सार्वभौमिक नियम है और दुनिया में कहीं भी समान रूप से लागू होता है।
इसका उपयोग कैसे करें
वस्तु का द्रव्यमान (किलोग्राम या ग्राम में), गिरने का समय सेकंड में, संयुक्त वायु-प्रतिरोध गुणांक \(k\) (kg/m में) और गुरुत्वाकर्षण त्वरण \(g\) (मानक मान 9.80665 m/s² डिफ़ॉल्ट रूप में) दर्ज करें। फिर "कैलकुलेट करें" दबाएँ और पतन दूरी तथा गति प्राप्त करें।
सूत्र की व्याख्या
गति का समीकरण है $$m\cdot\frac{dv}{dt} = m\cdot g - k\cdot v^{2}.$$ विरामावस्था से शुरू करने पर इसका बंद-रूप हल इस प्रकार है:
$$v(t) = \sqrt{\frac{m\,g}{k}}\,\tanh\!\left(\sqrt{\frac{g\,k}{m}}\cdot t\right) \qquad \text{तथा} \qquad h(t) = \frac{m}{k}\,\ln\!\cosh\!\left(\sqrt{\frac{g\,k}{m}}\cdot t\right).$$
सीमांत वेग (terminal velocity) \(v_{terminal} = \sqrt{\frac{m\,g}{k}}\) होता है — यह वह अधिकतम गति है जिसकी ओर वस्तु बढ़ती है। विशिष्ट दर \(a = \sqrt{\frac{g\,k}{m}}\) है। जब \(a\cdot t\) बड़ा होता है, तो गति सीमांत वेग पर स्थिर हो जाती है। यदि \(k = 0\) हो, तो यह मॉडल बिना खिंचाव वाले सामान्य मुक्त पतन में बदल जाता है: \(v = g\cdot t\), \(h = 0.5\cdot g\cdot t^{2}\)।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए \(m = 72\ \text{kg}\), \(t = 40\ \text{s}\), \(k = 0.24\ \text{kg/m}\), \(g = 9.80665\ \text{m/s}^2\): तब $$v_{terminal} = \sqrt{\frac{72\cdot 9.80665}{0.24}} = 54.23\ \text{m/s},$$ $$a = \sqrt{\frac{9.80665\cdot 0.24}{72}} = 0.1808\ \text{/s},$$ और \(a\cdot t = 7.232\)। इससे $$v = 54.23\cdot\tanh(7.232) = 54.24\ \text{m/s} = 195.26\ \text{km/h},$$ तथा $$h = \frac{72}{0.24}\cdot\ln\!\cosh(7.232) = 300\cdot 6.539 = 1961.7\ \text{m}.$$ इस स्थिति में वस्तु लगभग अपने सीमांत वेग तक पहुँच चुकी है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
गुणांक \(k\) क्या है? यह एक संयुक्त खिंचाव गुणांक है जिसकी इकाई kg/m है, ताकि \(k\cdot v^{2}\) से बल न्यूटन में मिले। इसमें वायु घनत्व, खिंचाव गुणांक (drag coefficient) और अनुप्रस्थ-काट क्षेत्रफल सभी एक साथ शामिल होते हैं।
गति बढ़ना क्यों रुक जाती है? खिंचाव \(v^{2}\) के साथ बढ़ता है; जैसे ही खिंचाव वजन के बराबर हो जाता है, शुद्ध बल शून्य हो जाता है और वस्तु स्थिर सीमांत वेग से गिरती है।
क्या मैं \(k\) को शून्य रख सकता हूँ? हाँ — ऐसा करने पर कैलकुलेटर बिना खिंचाव वाले क्लासिक सूत्रों \(v = g\cdot t\) और \(h = 0.5\cdot g\cdot t^{2}\) पर लौट आता है।
