Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, yerçekimi etkisiyle duruştan düşmeye başlayan ve aynı zamanda karesel (hıza göre kareli) hava direncine maruz kalan bir cismi modeller. Geçen düşüş süresini girdiğinizde, cismin ne kadar yol aldığını ve ne kadar hızlı hareket ettiğini hem m/s hem de km/sa cinsinden verir. Model evrensel fizik yasalarına dayanır ve her yerde geçerlidir.
Nasıl kullanılır?
Cismin kütlesini (kilogram veya gram), saniye cinsinden düşüş süresini, kg/m biriminde toplu hava direnci katsayısı \(k\) değerini ve yerçekimi ivmesi \(g\)'yi (varsayılan standart değer 9,80665 m/s²) girin. Hesapla düğmesine basarak düşüş mesafesini ve hızını görün.
Formülün açıklaması
Hareket denklemi \(m\cdot dv/dt = m\cdot g - k\cdot v^2\) şeklindedir. Duruştan başlandığında bu denklemin kapalı çözümü şöyledir:
$$v(t) = \sqrt{\frac{m\cdot g}{k}}\,\tanh\!\left(\sqrt{\frac{g\cdot k}{m}}\cdot t\right)$$$$h(t) = \frac{m}{k}\,\ln\cosh\!\left(\sqrt{\frac{g\cdot k}{m}}\cdot t\right)$$Terminal hız (limit hızı) \(v_{terminal} = \sqrt{\frac{m\cdot g}{k}}\) olup cismin yaklaştığı en yüksek hızdır. Karakteristik oran \(a = \sqrt{\frac{g\cdot k}{m}}\) ile verilir. \(a\cdot t\) büyük olduğunda hız terminal hıza doyar. Eğer \(k = 0\) ise model hava direncisiz serbest düşüşe dönüşür: \(v = g\cdot t\), \(h = 0{,}5\cdot g\cdot t^2\).
Örnek hesaplama
\(m = 72\) kg, \(t = 40\) s, \(k = 0{,}24\) kg/m, \(g = 9{,}80665\) m/s² için: \(v_{terminal} = \sqrt{72\cdot 9{,}80665/0{,}24} = 54{,}23\) m/s, \(a = \sqrt{9{,}80665\cdot 0{,}24/72} = 0{,}1808/\text{s}\), \(a\cdot t = 7{,}232\). Buradan \(v = 54{,}23\cdot\tanh(7{,}232) = 54{,}24\) m/s \(= 195{,}26\) km/sa ve \(h = (72/0{,}24)\cdot\ln(\cosh(7{,}232)) = 300\cdot 6{,}539 = 1961{,}7\) m bulunur. Cisim pratik olarak terminal hıza ulaşmıştır.
Sıkça sorulan sorular
\(k\) katsayısı nedir? kg/m birimine sahip toplu bir sürükleme katsayısıdır; böylece \(k\cdot v^2\) ifadesi newton cinsinden bir kuvvet verir. Hava yoğunluğunu, sürükleme katsayısını ve kesit alanını tek bir değerde toplar.
Hız neden artmayı durdurur? Sürükleme kuvveti \(v^2\) ile birlikte büyür; sürükleme ağırlığı dengelediğinde net kuvvet sıfır olur ve cisim sabit terminal hızla düşer.
\(k\) değerini sıfır yapabilir miyim? Evet — bu durumda hesaplayıcı klasik direncisiz formüllere döner: \(v = g\cdot t\) ve \(h = 0{,}5\cdot g\cdot t^2\).
