Qué hace esta calculadora
Esta herramienta modela un objeto que cae desde el reposo bajo la acción de la gravedad mientras experimenta una resistencia del aire cuadrática (proporcional al cuadrado de la velocidad). A partir del tiempo de caída transcurrido, devuelve la distancia recorrida y la velocidad alcanzada, tanto en m/s como en km/h. El modelo se basa en física universal, por lo que es válido en cualquier lugar.
Cómo usarla
Introduce la masa del objeto (en kilogramos o gramos), el tiempo de caída en segundos, el coeficiente combinado de resistencia del aire \(k\) en kg/m y la aceleración de la gravedad \(g\) (por defecto, la gravedad estándar de 9,80665 m/s²). Pulsa calcular para obtener la distancia de caída y la velocidad.
La fórmula explicada
La ecuación del movimiento es \(m\cdot\frac{dv}{dt} = m\cdot g - k\cdot v^{2}\). Partiendo del reposo, tiene la siguiente solución en forma cerrada:
$$v(t) = \sqrt{\frac{m\,g}{k}}\,\tanh\!\left(t\sqrt{\frac{g\,k}{m}}\right), \qquad h(t) = \frac{m}{k}\,\ln\!\cosh\!\left(t\sqrt{\frac{g\,k}{m}}\right)$$La velocidad terminal es \(v_{terminal} = \sqrt{\frac{m\,g}{k}}\), la velocidad máxima a la que tiende el objeto. La tasa característica es \(a = \sqrt{\frac{g\,k}{m}}\). Para valores grandes de \(a\cdot t\), la velocidad se satura en la velocidad terminal. Si \(k = 0\), el modelo se reduce a la caída libre sin rozamiento: \(v = g\cdot t\), \(h = 0{,}5\cdot g\cdot t^{2}\).
Ejemplo resuelto
Para \(m = 72\) kg, \(t = 40\) s, \(k = 0{,}24\) kg/m y \(g = 9{,}80665\) m/s²:
$$v_{terminal} = \sqrt{\frac{72\cdot 9{,}80665}{0{,}24}} = 54{,}23 \text{ m/s}$$$$a = \sqrt{\frac{9{,}80665\cdot 0{,}24}{72}} = 0{,}1808\,/\text{s}, \qquad a\cdot t = 7{,}232$$Entonces \(v = 54{,}23\cdot\tanh(7{,}232) = 54{,}24\) m/s = 195,26 km/h, y \(h = \frac{72}{0{,}24}\cdot\ln\!\cosh(7{,}232) = 300\cdot 6{,}539 = 1961{,}7\) m. El objeto ha alcanzado prácticamente su velocidad terminal.
Preguntas frecuentes
¿Qué es el coeficiente \(k\)? Es un coeficiente de arrastre combinado con unidades de kg/m, de modo que \(k\cdot v^{2}\) da una fuerza en newtons. Engloba la densidad del aire, el coeficiente de arrastre y el área de la sección transversal.
¿Por qué la velocidad deja de aumentar? El arrastre crece con \(v^{2}\); cuando el arrastre equilibra el peso, la fuerza neta es cero y el objeto cae a velocidad terminal constante.
¿Puedo poner \(k\) igual a cero? Sí: en ese caso la calculadora recurre a las fórmulas clásicas sin rozamiento \(v = g\cdot t\) y \(h = 0{,}5\cdot g\cdot t^{2}\).
