この計算ツールでできること
このツールは、重力を受けて静止状態から落下しはじめた物体が、速度の2乗に比例する空気抵抗（粘性抵抗ではなく慣性抵抗）を受けながら落ちていく運動をモデル化します。落下を始めてからの経過時間を入力すると、その時点での落下距離と落下速度を m/s・km/h の両方で表示します。物理法則そのものに基づいているため、地球上はもちろん、どこでも同じ考え方で利用できます。
使い方
物体の質量（キログラムまたはグラム）、落下時間（秒）、空気抵抗係数 \(k\)（kg/m、まとめた係数）、そして重力加速度 \(g\)（初期値は標準重力 9.80665 m/s²）を入力してください。「計算」ボタンを押すと、落下距離と落下速度が求められます。
計算式の解説
運動方程式は \(m\cdot \frac{dv}{dt} = m\cdot g - k\cdot v^2\) です。静止状態からの落下を考えると、次の厳密解（閉形式）が得られます。
$$v(t) = \sqrt{\frac{m\,g}{k}}\,\tanh\!\left(\sqrt{\frac{g\,k}{m}}\cdot t\right), \qquad h(t) = \frac{m}{k}\,\ln\!\cosh\!\left(\sqrt{\frac{g\,k}{m}}\cdot t\right)$$
終端速度は \(v_{\text{終端}} = \sqrt{\frac{m\,g}{k}}\) で、物体が近づいていく最大の速度です。特性レート（時定数の逆数にあたる量）は \(a = \sqrt{\frac{g\,k}{m}}\) です。\(a\cdot t\) が大きくなると、速度は終端速度で頭打ちになります。\(k = 0\) の場合は空気抵抗のない自由落下に戻り、\(v = g\cdot t\)、\(h = 0.5\cdot g\cdot t^2\) となります。
計算例
\(m = 72\ \text{kg}\)、\(t = 40\ \text{s}\)、\(k = 0.24\ \text{kg/m}\)、\(g = 9.80665\ \text{m/s}^2\) のとき、$$v_{\text{終端}} = \sqrt{\frac{72\cdot 9.80665}{0.24}} = 54.23\ \text{m/s}, \qquad a = \sqrt{\frac{9.80665\cdot 0.24}{72}} = 0.1808\,/\text{s}, \qquad a\cdot t = 7.232$$ となります。これより $$v = 54.23\cdot\tanh(7.232) = 54.24\ \text{m/s} = 195.26\ \text{km/h}, \qquad h = \frac{72}{0.24}\cdot\ln\!\cosh(7.232) = 300\cdot 6.539 = 1961.7\ \text{m}$$ です。この時点で物体はほぼ終端速度に達しています。
よくある質問
係数 \(k\) とは何ですか？ \(k\) は単位 kg/m を持つ、まとめられた空気抵抗係数です。\(k\cdot v^2\) がニュートン単位の力になるように定義されており、空気密度・抗力係数・前面投影面積をひとまとめにしたものです。
なぜ速度はそれ以上速くならないのですか？ 空気抵抗は \(v^2\) に比例して大きくなります。抵抗力が重力（重さ）とつり合うと合力がゼロになり、物体は一定の終端速度で落ち続けます。
\(k\) を 0 に設定できますか？ はい。その場合は空気抵抗のない古典的な公式 \(v = g\cdot t\)、\(h = 0.5\cdot g\cdot t^2\) に切り替わります。
