À quoi sert ce calculateur
Cet outil calcule la géométrie d'un segment cylindrique : le solide obtenu lorsqu'un cylindre droit circulaire couché à l'horizontale est tranché par un plan horizontal. C'est exactement la forme que prend un liquide reposant dans une cuve horizontale remplie jusqu'à une hauteur h. À partir du rayon r, de la hauteur de remplissage h (mesurée à partir du point le plus bas du cercle) et de la longueur du cylindre l, il renvoie le volume V, l'aire de la section d'extrémité F, l'aire du fond courbe (arc) S et l'aire de la face plane supérieure T.
Comment l'utiliser
Saisissez le rayon, la hauteur de remplissage et la longueur axiale dans une seule et même unité de longueur (les trois valeurs doivent partager la même unité). La hauteur doit être comprise entre 0 et 2r — à h = 2r, le cylindre est totalement plein. Les aires sont exprimées en unité² et le volume en unité³. Aucune conversion n'est appliquée : les résultats héritent donc simplement de l'unité utilisée pour les données saisies.
La formule expliquée
Une corde horizontale découpe un segment circulaire de hauteur h. L'angle au centre vaut \(\theta = 2\cdot\arccos\!\left(1 - \frac{h}{r}\right)\). La demi-corde mesure \(\sqrt{h(2r-h)}\). L'aire du segment est $$F = \frac{\theta}{2}r^{2} - (r-h)\sqrt{h(2r-h)}$$ — soit l'aire du secteur circulaire moins celle du triangle. En extrudant cette surface sur la longueur, on obtient \(V = F\cdot l\). La surface du fond courbe correspond à la longueur de l'arc \(r\theta\) multipliée par l, et la face plane supérieure vaut la corde \(2\sqrt{h(2r-h)}\) multipliée par l.
Exemple résolu
Pour r = 1, h = 0,5, l = 2 : \(1 - h/r = 0{,}5\), donc \(\theta = 2\cdot\arccos(0{,}5) = 2{,}0943951\) rad. La demi-corde vaut \(\sqrt{0{,}75} = 0{,}8660254\). On a alors $$F = 1{,}0471976 - 0{,}5\cdot0{,}8660254 = 0{,}6141848 \text{ unité}^2$$ $$V = F\cdot 2 = 1{,}2283697 \text{ unité}^3$$ $$S = 1\cdot 2{,}0943951\cdot 2 = 4{,}1887902 \text{ unité}^2$$ $$T = 2\cdot 2\cdot 0{,}8660254 = 3{,}4641016 \text{ unité}^2$$
FAQ
F est-il le volume ou une aire ? F est l'aire 2D de la section d'extrémité (le segment) ; multipliez-la par la longueur l pour obtenir le volume V.
Que se passe-t-il à h = 2r ? Le cylindre est plein : \(\theta = 2\pi\), \(F = \pi r^{2}\), \(V = \pi r^{2} l\), \(S = 2\pi r l\), et T = 0 car la corde se réduit à un point.
Puis-je utiliser des pouces, des cm ou des mètres ? Oui — utilisez l'unité de votre choix, à condition de garder la même pour les trois valeurs ; les résultats reviennent dans cette unité au carré et au cube.
